§ 145. Случай, когда функция потерь является функционалом, а сигнал и помеха распределены нормально

Применим изложенный в предыдущем параграфе метод для определения оптимального оператора в частном случае, когда наблюдаемая функция и сигнал представляют собой линейные функции (122.9) и (122.10) составляющих нормально распределенного

случайного вектора а функция потерь представляет собой функционал от ошибки вида

где — произвольная функция переменной , ошибки и ее производных до порядка включительно. Переменную 5 для простоты будем считать скалярной, хотя все дальнейшие выкладки и заключения полностью применимы и к случаю векторной переменной 5 при любом возможном понимании операции дифференцирования. Пользуясь формулами (145.1), (143.2), (144.22), (144.23), (144.24), (122.10) и (124.9), приведем формулу (144.18) в данном случае к виду:

Предположим сначала, что В этом случае интеграл (145.2), так же как и интеграл (143.3), упрощается путем ввода новых переменных

взамен каких-нибудь из переменных Однако это преобразование, как и в случае интеграла (143.3), проще всего выполняется вероятностными приемами. Для этого воспользуемся тем, что интеграл по переменным в (145.2) вместе со стоящим перед ним множителем представляет собой условное математическое ожидание функции а ошибки и ее производных причем ошибка является линейной функцией случайных величин

А так как условное распределение случайного вектора относительно случайной функции в данном случае нормально, то и условное распределение ошибки и всех ее производных нормально. Следовательно, для определения условного математического ожидания функции а достаточно найти условное математическое

ожидание и корреляционную матрицу случайного вектора выразить его условную плотность вероятности формулой (23.41) и воспользоваться формулой (18.1).

Пользуясь формулой (19.13), находим условные математические ожидания ошибки и ее производных:

где условные математические ожидания составляющих вектора Их можно определить из условия максимума показательной функции в (145.2). В результате получим уравнения

где величины определяются формулой (124.13).

Пользуясь формулой (20.17), находим элементы условной корреляционной матрицы случайного вектора

где элементы условной корреляционной матрицы случайного вектора которая на основании изложенного в § 23 является обратной по отношению к матрице

Выражая условную плотность вероятности случайного вектора формулой (23.41) и вычисляя условное математическое ожидание функции по формуле (18.1), приведем формулу (145.2) к виду:

где определитель матрицы а — алгебраическое дополнение элемента в этом определителе.

Формула (145.9) выражает величину как функционал от функции Пусть функция, минимизирующая интеграл (145.9). Тогда, полагая в и повторяя выкладки получим для оптимальной оценки сигнала формулу

где величины и А определяются формулами (143.16) и (143.17). Таким образом, оптимальный оператор в рассматриваемом случае является неоднородным линейным оператором, причем от вида функции о зависит только систематическое смещение А.

Если то, вводя дополнительные нормально распределенные величины математические ожидания которых равны нулю, придем к заключению, что доказанное предложение справедливо при любых дисперсиях величин Устремив эти дисперсии к нулю, убеждаемся в том, что доказанное предложение справедливо и при

Итак, мы доказали, что при нормальном распределении сигнала и помехи любой критерий вида (119.10), соответствующий функционалу потерь вида (145.1), зависящему только от ошибки, дает в качестве оптимального оператора в классе всех возможных операторов неоднородный линейный оператор. Таким образом, результаты § 143 при весьма общих условиях распространяются на случай, когда функция потерь является функционалом от ошибки. Эти результаты остаются в силе и в том случае, когда некоторые функции не выражаются разложением (141.10).

Совершенно так же, как в § 143, приходим к заключению, что доказанное предложение справедливо и в том случае, когда некоторые (или все) величины не являются случайными, а представляют собой неизвестные параметры, которые могут иметь любые значения.

Полученный вывод имеет очень большое практическое значение, так как позволяет во многих случаях существенно упростить нахождение оптимальных систем. А именно, во всех случаях, когда критерий качества системы может быть представлен в виде (119.10), где есть произвольная функция или произвольный функционал вида (145.1) от ошибки системы (или вообще от линейной комбинации сигнала и его оценки) и есть основания предполагать, что сигнал и помехи распределены нормально, или сигнал может быть выражен в виде линейной комбинации известных функций с произвольными неизвестными коэффициентами, а помехи распределены нормально, оптимальную систему следует искать в классе линейных систем по

критерию минимума дисперсии ошибки, после чего ввести в случае необходимости дополнительную систематическую поправку А, зависящую от вида функции или функционала

Пример. Решить пример предыдущего параграфа, пользуясь критерием минимума математического ожидания числа выходов ошибки из заданных пределов в интервале времени

В этом случае функционал определяется формулой (119.31) и, следовательно,

Подставляя это выражение в (145.9) и выполняя интегрирование по получим:

где и на основании (145.8) определяются формулами

Выполнив интегрирование по в (145.12), приведем функционал к виду:

где

и

Для определения функции минимизирующей интеграл (145 14), положим, как это обычно делается в вариационном исчислении, где действительный параметр, а произвольная функция. Тогда первая (вариация функционала (145.14) выразится формулой

Для того чтобы выражение (145.17) было равно нулю при любой функции необходимо, чтобы функция удовлетворяла дифференциальному уравнению Эйлера

и граничным условиям

Определив функцию путем интегрирования уравнения (145.18) при граничных условиях (145.19), найдем оптимальную оценку сигнала по формуле

которая дает в данном случае совместно с формулой (143.16):

где весовые функции и определяются формулами (132.41), а вели чины и определяются системой линейных алгебраических уравнений (141.49) при

Уравнение (145.18) очень сложное и при произвольных функциях может быть проинтегрировано, вероятно, только численными методами. Однако легко проверить непосредственной подстановкой, что в частном случае, когда уравнение (145.18) и граничные условия (145.19) удовлетворяются, если положить Следовательно, при любых симметричных границах оптимальный оператор в данном случае совпадает с тем, который получается по критерию минимума средней квадратической ошибки. Это вполне понятно, так как математическое ожидание числа выходов ошибки из любых симметричных пределов будет тем меньше, чем меньше вероятность выхода ошибки из этих пределов в каждый данный момент времени т. е. чем меньше дисперсия ошибки, если ее математическое ожидание равно нулю.