§ 15. Плотность вероятности случайного вектора

Плотность вероятности двумерного случайного вектора, составляющими которого являются случайные величины или совместная плотность вероятности случайных величин

определяется формулой

Очевидно, что плотность вероятности случайного вектора не может быть отрицательной:

Выражение представляет собой элемент вероятности, т. е. вероятность попадания случайной точки в элемент площади расположенный в точке Поэтому вероятность попадания случайной точки с координатами в произвольную область В плоскости выражается интегралом от плотности вероятности, распространенным на область В:

Если вероятность попадания случайной точки в точку не равна нулю, то, как показывает формула (15.1), плотность вероятности в точке бесконечна. Однако вероятность попадания случайной точки в произвольную область, содержащую точку конечна, т. е. интеграл от плотности вероятности, взятый по любой области, содержащей точку конечен. Пользуясь введенным в § 9 понятием импульсной -функции, можно считать, что и в этом случае плотность вероятности существует в точке и может быть выражена формулой

где функция, интеграл от которой по бесконечно малой окрестности точки бесконечно мал, а вероятность попадания случайной точки в точку

Вычисляя вероятность попадания случайной точки в четверть плоскости по формуле (15.3), найдем выражение функции распределения двумерного случайного вектора через его плотность вероятности:

Дифференцируя эту формулу один раз по переменной х и один раз по переменной у, получим выражение плотности вероятности двумерного случайного вектора через его функцию распределения:

Таким образом, плотность вероятности двумерного случайного вектора есть вторая смешанная производная его функции распределения.

Полагая в формуле и принимая во внимание (14.11), получим следующее выражение функции распределения случайной величины X:

Дифференцируя эту формулу по х, найдем плотность вероятности случайной величины X:

Аналогично получим формулу для плотности вероятности случайной величины

Таким образом, если дана двумерная плотность вероятности случайных величин то, для того чтобы найти плотность вероятности какой-либо одной случайной величины, следует проинтегрировать двумерную плотность вероятности по переменной, соответствующей другой случайной величине, в пределах всех возможных ее значений.

Полагая в формуле и принимая во внимание (14.10), получим:

Эта формула может быть также получена из формулы (15.3), если взять в качестве области В всю плоскость и учесть, что попадание случайной точки в плоскость есть достоверное событие.

Неравенство (15.2) и формула (15.10) являются основными свойствами плотности вероятности случайного вектора.

Все изложенное легко обобщается на случайные векторы любого числа измерений. Плотность вероятности n-мерного случайного вектора составляющими которого являются случайные величины или совместная плотность вероятности случайных величин определяется формулой

Плотность вероятности -мерного случайного вектора не может быть отрицательной:

Вероятность попадания случайной точки 5 с координатами в -мерную область В выражается интегралом

Эта формула может быть записана сокращенно в виде:

где

Применяя формулу (15.13) к области получим выражение функции распределения n-мерного, случайного вектора через его плотность вероятности:

Дифференцируя эту формулу один раз по каждой переменной, получим выражение плотности вероятности -мерного случайного вектора через его функцию распределения:

Интегрируя плотность вероятности случайного вектора по некоторым из переменных получим плотность вероятности случайных величин, соответствующих остальным переменным. Например, обозначая через плотность вероятности -мерного случайного вектора, составляющими которого являются случайные величины найдем:

Полагая в и принимая во внимание (14.15), получим:

Неравенство (15.12) и равенство (15.18) являются основными свойствами плотности вероятности случайного вектора. Таким образом,

плотность вероятности любой случайной величины, как скалярной, так И векторной, не может быть отрицательной, а интеграл от нее, распространенный на всю область возможных значений случайной величины, равен единице.

Пример. Найти совместный закон распределения наименьшего и наибольшего из значений, которые принимает случайная величина X в результате независимых опытов, если случайная величина X имеет функцию распределения Имеем:

Далее, совместное выполнение неравенств равноценно совместному появлению независимых событий и Следовательно, на основании (15.19), (7.5) и (7.14) искомая функция распределения величин выразится формулой:

Дифференцируя эту формулу по найдем совместную плотность вероятности случайных величин :