ГЛАВА 1. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА

§ 1. Случайные явления. Предмет теории вероятностей

В своей практической деятельности человек на каждом шагу встречается со случайными явлениями. Так, например, при стрельбе с большого расстояния по цели небольших размеров можно попасть в цель, а можно и не попасть. Результат каждого отдельного выстрела будет случайным. При полете на самолете мы часто испытываем так называемую «болтанку», причиной которой являются случайные воздействия неспокойной атмосферы на самолет. Любое измерение всегда сопровождается случайной ошибкой, так как абсолютно точных измерений не существует. Производя экспериментальное исследование какого-либо явления и систематизируя результаты в виде графических зависимостей, мы убеждаемся в том, что экспериментальные точки, если их достаточно много, никогда не ложатся на одну кривую, а всегда заполняют некоторую полосу, т. е. имеет место случайный разброс экспериментальных точек.

На известном этапе развития многих отраслей науки становится необходимым изучать случайные явления, с тем чтобы научиться предвидеть действие случайных факторов и учитывать их в практической деятельности. Так, например, при стрельбе учет случайных факторов необходим для правильной организации стрельбы, чтобы поразить цель наверняка и притом с минимальным расходом боеприпасов, несмотря на промах при отдельных выстрелах. Изучение случайных действий неспокойной атмосферы на самолет дает возможность при конструировании выбрать параметры самолета и его органов управления так, чтобы влияние «болтанки» на полет было минимальным. Математической наукой, изучающей общие закономерности случайных явлений независимо от их конкретной природы и Дающей методы количественной оценки влияния случайных факторов на различные явления, является теория вероятностей. Для того чтобы понять существо методов теории вероятностей и определить круг задач, решаемых методами теории вероятностей, необходимо разобраться в следующих двух вопросах: во-первых, установить, какие явления называются случайными, во-вторых, среди всех случайных

явлений определить класс случайных явлений, подлежащих изучению в теории вероятностей.

Диалектический материализм учит, что беспричинных явлений не существует. Все предметы и явления окружающего нас мира взаимно связаны и влияют друг на друга. Таков один из основных законов диалектики — закон всеобщей связи явлений. В силу этого закона каждое наблюдаемое явление связано причинной зависимостью с бесчисленным множеством других явлений и течение его зависит от бесчисленного множества факторов. Поэтому принципиально невозможно проследить все причины, определяющие течение изучаемого явления, установить все связи данного явления со все более и более отдаленными факторами. Человек может установить и проследить лишь ограниченное количество связей в изучаемом явлении. И всегда остается бесчисленное множество неучтенных факторов, оказывающих какое-то влияние на течение рассматриваемого явления. Поэтому, наблюдая одно и то же явление много раз, мы обнаруживаем в этом явлении наряду с общими чертами, проявляющимися каждый раз одинаково, индивидуальные черты, характеризующие каждое отдельное наблюдение данного явления и не повторяющиеся при других наблюдениях того же явления. Изучаемое явление протекает каждый раз по-разному, и результат каждого наблюдения несколько отличается от результатов других наблюдений.

При изучении каждого данного явления естественно разделить все связи на две категории: основные связи, определяющие общие черты течения данного явления при многократном его наблюдении, и второстепенные связи, по-разному влияющие на течение данного явления при каждом наблюдении. Основные связи определяют закономерности данного явления, всегда присущие этому явлению и проявляющиеся при каждом его наблюдении. Второстепенные связи определяют различия в течении данного явленияпри различных наблюдениях, приводящие к некоторому расхождению в результатах многократного наблюдения этого явления, к некоторому отклонению от закономерности. Эти отклонения от закономерности, вызываемые бесчисленным множеством второстепенных связей рассматриваемого явления, мы и называем случайными явлениями.

Каждая отдельно взятая второстепенная связь может оказывать весьма малое влияние на течение данного явления. Однако, вследствие того что всегда существует бесчисленное множество таких второстепенных связей, суммарное их влияние часто оказывается весьма существенным. В некоторых случаях суммарное влияние бесчисленного множества второстепенных связей бывает настолько значительным, что оно определяет все течение явления. В результате все явление протекает без всяких видимых закономерностей. Примером такого явления может служить движение малой частицы твердого вещества, взвешенной в жидкости, так называемое брауновское движение. Под действием толчков огромного количества движущихся

молекул жидкости частица движется совершенно беспорядочно, без всякой видимой закономерности. В подобных явлениях сама случайность является закономерностью.

В результате совместного действия основных и второстепенных связей необходимость и случайность во всяком явлении тесно связаны между собой и сопутствуют друг другу. Закономерность — необходимость — всегда проявляется в виде тенденции, от которой течение данного явления в каждом конкретном случае несколько отклоняется. Необходимость, по образному выражению Ф. Энгельса, прокладывает себе дорогу через бесконечное множество случайностей. Таким образом, диалектический материализм рассматривает необходимость и случайность в их единстве. Случайное необходимо в силу закона всеобщей связи явлений. Необходимое всегда проявляется в форме случайностей.

Диалектический материализм учит, что границы между случайным и необходимым в каждом данном явлении не являются неизменными, раз навсегда определенными. Мир познаваем, и человеческое познание неограниченно. В процессе познания человек изучает все новые и новые связи в окружающем его мире, открывает все новые и новые закономерности, учится использовать все новые и новые силы и явления природы. То, что на одном, этапе человеческого познания было Случайным, на другом этапе становится необходимым.

Рассмотрим в качестве примера явление полета артиллерийского снаряда. Полет снаряда определяется бесчисленным множеством факторов: параметрами, характеризующими положение и движение ствола орудия и снаряда в момент его вылета из канала ствола орудия; размерами, формой, весом, распределением масс и характером поверхности данного снаряда; характеристиками порохового заряда, при помощи которого снаряд выталкивается из канала ствола орудия, — его весом, составом пороха, размерами его зерен, его температурой, микроструктурой пороховых зерен и другими параметрами физико-химического состояния пороха; состоянием и движением воздуха в тех точках пространства, через которые пролетает снаряд, и многими другими факторами, которые невозможно даже перечислить. В результате небольших отличий весов, размеров и форм различных снарядов, в результате неуловимых отличий в характеристиках различных пороховых зарядов, в результате отличий в состоянии атмосферы при полете различных снарядов, а также в результате различий в бесчисленном множестве других факторов, влияющих на полет снаряда, два снаряда, выпущенные из одного и того же орудия, казалось бы, в совершенно одинаковых условиях, движутся по различным траекториям. Полет двух снарядов точно по одной и той же траектории — явление совершенно невозможное. В результате точки попадания или точки разрыва различных снарядов, выпущенных, казалось бы, в совершенно одинаковых условиях, всегда различны. Наблюдается явление, обычно называемое

рассеяванием снарядов. Внешняя баллистика — наука, изучающая закономерности движения снарядов в воздухе, как и всякая наука, выделяет из бесчисленного множества связей, определяющих полет снаряда, основные связи. Так, например, в основной задаче внешней баллистики учитывается влияние на полет снаряда только трех основных факторов: вектора начальной скорости снаряда, силы тяжести и силы сопротивления воздуха, которая считается направленной в сторону, противоположную вектору скорости снаряда, и определенным образом зависящей от скорости полета снаряда и плотности воздуха. При этом траектория снаряда полностью определяется тремя параметрами: начальной скоростью, углом наклона вектора начальной скорости к горизонту (углом бросания) и баллистическим коэффициентом снаряда. В результате решения основной задачи внешней баллистики мы находим основные закономерности полета снаряда. Действительное движение снаряда всегда отклоняется от вычисленного методами внешней баллистики. Эти случайные отклонения вызываются тем, что начальная скорость снаряда и его угол бросания вследствие действия бесчисленного множества неучтенных второстепенных связей никогда не совпадают с расчетными: действие аэродинамических сил на снаряд всегда отличается от принятого в расчет и т. д. Если размеры цели малы по сравнению с рассеиванием, то попадание в цель при одном выстреле будет случайностью. Если же размеры цели достаточно велики, то попадание в цель каждого снаряда будет необходимостью — закономерностью. Однако и в этом случае положение каждой точки попадания в пределах цели будет случайным. Так как рассеивание снарядов зависит от совершенства оружия и прицельных устройств, то попадание в определенную цель при одном выстреле может быть случайностью на одном этапе развития артиллерийской техники (когда рассеивание снарядов велико), а на другом этапе (когда рассеивание снарядов резко уменьшится) может стать необходимостью.

Перейдем ко второму вопросу о том, какие именно случайные явления подлежат изучению в теории вероятностей. Для этого сначала посмотрим, как можно изучить случайные явления. Так как случайные явления порождаются бесчисленным множеством второстепенных связей в изучаемом явлении, то изучить их путем прослеживания всех этих связей принципиально невозможно. Ф. Энгельс говорит, что наука, которая взялась бы проследить все бесконечные причинные связи какого-либо явления, была бы не наукой, а пустой игрой. Поэтому изучение случайных явлений необходимо направить на выявление закономерностей в самих случайных явлениях. А так как закономерности проявляются только при многократном наблюдении рассматриваемого явления, то круг изучаемых в теории вероятностей случайных явлений необходимо ограничить такими случайными явлениями, которые могут наблюдаться практически неограниченное число раз, т. е. так называемыми массовыми случайными явлениями.

Таким образом, предметом теории вероятностей является изучение закономерностей массовых случайных явлений.

Применение вероятностных методов в прикладных науках обогащает эти науки новыми возможностями, поднимает их на новую, более высокую ступень развития. Так, например, применение вероятностных методов в физике позволило объяснить многие явления, казавшиеся ранее необъяснимыми. Развитие теории стрельбы без применения вероятностных методов вообще было бы невозможным. Применение же теории вероятностей дает возможность разработать такие методы стрельбы, которые обеспечивают поражение цели с наименьшим расходом боеприпасов; позволяет так выбрать характеристики артиллерийских приборов, чтобы уменьшить влияние случайностей и повысить точность стрельбы. Применение вероятностных: методов в теории автоматического управления и, в частности, в теории автоматического регулирования ознаменовало новый, более высокий этап развития теории автоматического управления, так как впервые позволило изучать работу систем автоматического управления в реальных условиях, когда на них непрерывно действуют случайные возмущения. Применение теории вероятностей к изучению полета самолета в реальной турбулентной атмосфере означает переход от изучения устойчивости и управляемости самолетов в практически никогда не существующих условиях абсолютно спокойной и однородной атмосферы к изучению полета в реальных условиях, когда на самолет непрерывно действуют случайные возмущения. Развитие вероятностных методов в динамике полета, несомненно, позволит разработать такие методы расчета самолетов и их систем управления, которые дадут возможность обеспечивать наименьшую реакцию самолетов на «болтанку» и, следовательно, наибольшие удобства для пассажиров. Применение теории вероятностей в радиотехнике и теории связи дало возможность создать новые эффективные методы расчета линий связи, по-новому ставить и решать задачи обнаружения и выделения передаваемой информации в условиях действия шумов и помех. Подобных примеров успешного применения теории вероятностей в прикладных науках можно привести очень много. В последние годы теория вероятностей получает все более и более широкое распространение в различных отраслях технических наук. Все это убедительна доказывает, что теория вероятностей является мощным инструментом научного исследования, способствующими прогрессу науки и техники.