Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления
ОглавлениеИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮГЛАВА 1. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА § 1. Случайные явления. Предмет теории вероятностей § 2. Экспериментальные основы теории вероятностей. Частота и вероятность события § 3. Теорема сложения частот. Принцип сложения вероятностей § 4. Условные частоты и условные вероятности. Зависимые и независимые события § 5. Формула полной вероятности. Формула Бейеса § 6. Повторение опытов ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ § 7. Функция распределения § 8. Плотность вероятности § 9. Применение импульсных функций и обобщение понятия плотности вероятности § 10. Моменты случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение § 11. Нормальный закон распределения § 12. Закон распределения Пуассона § 13. Приближенное аналитическое представление законов распределения ГЛАВА 3. ВЕКТОРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ § 14. Функция распределения случайного вектора § 15. Плотность вероятности случайного вектора § 16. Условные функции распределения и плотности вероятности § 17. Моменты двумерного случайного вектора. Корреляционный момент и коэффициент корреляции § 18. Моменты многомерного случайного вектора. Корреляционная матрица случайного вектора § 19. Математическое ожидание комплексной случайной величины. Свойства математических ожиданий § 20. Дисперсии и корреляционные моменты комплексных случайных величин. Свойства дисперсий и корреляционных моментов § 21. Приведение случайного вектора к случайному вектору с некоррелированными составляющими § 22. Двумерный нормальный закон распределения § 23. Многомерный нормальный закон распределения § 24. Квадратическое приближение случайной величины ГЛАВА 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН § 25. Характеристическая функция скалярной случайной величины § 26. Выражение плотности вероятности через характеристическую функцию § 27. Связь между характеристической функцией и моментами случайной величины § 28. Характеристическая функция случайного вектора § 29. Связь между характеристической функцией и моментами случайного вектора ГЛАВА 5. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ § 30. Определение моментов функций случайных аргументов § 31. Применение линеаризации функций для приближенного определения моментов нелинейных функций случайных аргументов § 32. Закон распределения функции случайного аргумента § 33. Другой метод определения закона распределения функции случайного аргумента § 34. Закон распределения суммы случайных величин § 35. Применение характеристических функций для определения законов распределения функций случайных величин ГЛАВА 6. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ § 36. Неравенство Чебышева § 37. Теоремы Маркова и Чебышева. Виды вероятностной сходимости § 38. Теоремы Пуассона и Бернулли § 39. Теоремы Ляпунова и Лапласа § 40. Доказательство теоремы Ляпунова ГЛАВА 7. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ § 41. О возможности измерения неопределенности результатов наблюдений случайных явлений § 42. Энтропия прерывной случайной величины § 43. Энтропия непрерывной случайной величины § 44. Информация и ее измерение § 45. Энтропия равномерного и нормального распределений § 46. Единственность определения энтропии прерывной случайной величины § 47. Энтропия неограниченных случайных последовательностей ГЛАВА 8. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ § 48. Определение случайной функции. Законы распределения случайных функций § 49. Математическое ожидание и корреляционная функция случайной функции. Взаимная корреляционная функция двух случайных функций § 50. Моменты случайных функций § 51. Свойства корреляционных функций § 52. Сложение случайных функций § 53. Дифференцирование случайной функции § 54. Интегрирование случайной функции § 55. Предельная теорема для среднего значения случайной функции. Общая эргодическая теорема ГЛАВА 9. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ § 56. Два вида канонических представлений случайных функций § 57. Общие формулы для координатных функций § 58. Каноническое разложение случайной функции в дискретном ряде точек § 59. Практический способ построения канонического разложения случайной функции в дискретном ряде точек § 60. Каноническое разложение случайной функции в данной области изменения аргумента § 61. Практический способ построения канонического разложения случайной функции в данной области изменения аргумента § 62. Общая форма канонического разложения случайной функции § 63. Построение канонического разложения случайной функции по каноническому разложению ее корреляционной функции § 64. Некоторые способы построения канонического разложения корреляционной функции § 65. Способ получения приближенного канонического разложения случайной функции § 66. Разложение случайной функции в ряд § 67. Интегральные канонические представления случайных функций ГЛАВА 10. ВЕКТОРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ § 68. Приведение векторной случайной функции к скалярной § 69. Математическое ожидание и корреляционная функция векторной случайной функции § 70. Канонические разложения векторных случайных функций § 71. Интегральные канонические представления векторных случайных функций ГЛАВА 11. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ § 72. Определение стационарной случайной функции § 73. Стационарная векторная случайная функция § 74. Эргодическое свойство стационарных случайных функций § 75. Стационарные случайные функции, эргодические по отношению к корреляционным функциям § 76. Каноническое разложение стационарной случайной функции § 77. Интегральное каноническое представление стационарной случайной функции. Спектральная плотность стационарной случайной функции § 78. Каноническое разложение стационарной векторной случайной функции § 79. Интегральное каноническое представление стационарной векторной случайной функции § 80. Случайные функции, приводимые к стационарным ГЛАВА 12. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ § 81. Преобразование функций динамическими системами. Понятие оператора § 82. Оператор динамической системы как общая ее характеристика § 83. Весовые функции одномерных линейных систем § 84. Одномерные линейные системы, описываемые дифференциальными уравнениями § 85. Весовые функции многомерных линейных систем § 86. Другие характеристики линейных систем § 87. Стационарные линейные системы ГЛАВА 13. ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ § 88. Линейное преобразование случайной функции § 89. Линейное преобразование векторной случайной функции § 90. Общие методы исследования точности линейных систем § 91. Методы вычисления установившихся систематических ошибок стационарных линейных систем § 92. Исследование точности одномерных стационарных линейных систем с одним стационарным случайным возмущением § 93. Исследование точности одномерных стационарных линейных систем с одним нестационарным случайным возмущением § 94. Исследование точности одномерных линейных систем, близких к стационарным § 95. Исследование точности многомерных стационарных линейных систем § 96. Исследование точности многомерных линейных систем, близких к стационарным § 97. Один тип интегральных канонических представлений входных случайных возмущений § 98. Преобразование случайной функции случайным линейным интегральным оператором ГЛАВА 14. ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ § 99. Методы исследования точности нелинейных систем § 100. Общие принципы метода линеаризации операторов § 101. Непосредственная линеаризация уравнений Нелинейных систем § 102. Линеаризация уравнений нелинейных систем при помощи канонических разложений § 103. Метод статистической линеаризации § 104. Применение метода статистической линеаризации для исследования точности стационарных систем § 105. Применение метода статистической линеаризации для исследования точности нестационарных систем § 106. Преобразования случайных функций, приводимые к линейным § 107. Нелинейные интегральные преобразования случайных функций § 108. Применение метода канонических разложений для исследования нелинейных преобразований случайных функций ГЛАВА 15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ОПЫТОВ § 109. О характере задач определения вероятностных характеристик по результатам опытов § 110. Определение вероятностей событий, функций распределения и плотностей вероятности § 111. Определение математических ожиданий и дисперсий случайных величин § 112. Определение корреляционных моментов случайных величин § 113. Оценка точности экспериментального определения вероятностных характеристик § 114. Определение математических ожиданий и корреляционных функций эргодических стационарных случайных функций § 115. Определение математического ожидания случайной функции сглаживанием ее реализаций § 116. Основные понятия теории оценок § 117. Применение метода максимума правдоподобия для нахождения оценки математического ожидания случайной функции ГЛАВА 16. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ § 118. Задачи определения оптимальных систем § 119. Критерии оптимума § 120. Общее условие минимума средней квадратической ошибки § 121. Общие условия экстремума данной функции математического ожидания и дисперсии ошибки § 122. Уравнения, определяющие оптимальный линейный оператор § 123. Уравнения, определяющие оптимальное неоднородное линейное преобразование § 124. Общий анализ уравнений, определяющих оптимальный линейный оператор § 125. Уравнения, определяющие весовые функции оптимальных линейных систем § 126. Уравнение, определяющее оптимальный нелинейный интегральный оператор ГЛАВА 17. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ § 127. Определение оптимальной одномерной линейной системы в случае белого шума на входе § 128. Общая формула для определения весовой функции оптимальной одномерной линейной системы § 129. Формулы, определяющие оптимальную линейную систему в случае бесконечного интервала наблюдения и стационарной случайной функции на входе § 130. Определение оптимальной линейной системы в случае, когда входное возмущение связано с белым шумом линейным дифференциальным уравнением § 131. Другие варианты метода определения оптимальной линейной системы в случае, когда входное возмущение связано с белым шумом линейным дифференциальным уравнением § 132. Случай, когда входное возмущение представляет собой стационарную случайную функцию с дробно-рациональной спектральной плотностью § 133. Определение оптимального линейного оператора методом интегральных канонических представлений в общем случае § 134. Определение оптимальной одномерной линейной системы методом канонических разложений § 135. Определение оптимального линейного оператора методом канонических разложений в общем случае § 136. Определение оптимального линейного оператора в особых случаях § 137. Единственность решения и оценка приближения к оптимальному линейному оператору для критерия минимума средней квадратической ошибки ГЛАВА 18. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ § 138. Определение оптимального оператора в классе приводимых к линейным § 139. Определение оптимального нелинейного интегрального оператора § 140. Определение оптимального оператора по критерию минимума средней квадратической ошибки в классе всех возможных операторов § 141. Определение оптимального оператора по критерию минимума среднего риска при произвольной функции потерь § 142. Определение оптимального оператора по критерию минимума среднего риска в особых случаях § 143. Случай нормально распределенных сигнала и помехи § 144. Общий метод определения оптимального оператора по критерию минимума среднего риска § 145. Случай, когда функция потерь является функционалом, а сигнал и помеха распределены нормально ДОПОЛНЕНИЕ 1. Некоторые сведения из теории линейных преобразований II. Некоторые сведения из теории линейных интегральных уравнений с симметричным ядром III. Нахождение минимума функции или функционала методом наискорейшего спуска ПРИЛОЖЕНИЕ. ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ И ТАБЛИЦЫ ФУНКЦИЙ |
