§ 32. Закон распределения функции случайного аргумента

Во многих случаях практики недостаточно бывает определить моменты функции случайного аргумента, а необходимо также найти ее закон распределения. Для этого достаточно найти ее функцию распределения или плотность вероятности. Применяя формулы (7.3) и (8.5), находим функцию распределения случайной величины К, определяемой формулой (30.1):

где интеграл распространен на все отрезки числовой оси, на которых выполнено неравенство, написанное под знаком интеграла. На рис. 13 эти отрезки показаны жирной линией. Определив по формуле (32.1) функцию распределения случайной величины К, можно найти ее плотность вероятности как производную функции распределения.

Рис. 13.

В частном случае, когда функция монотонна в области возможных значений случайной величины X, существует только один отрезок, на котором выполнено неравенство под знаком интеграла в (32.1) (рис. 14). В этом случае уравнение

имеет единственное решение:

в области возможных значений случайной величины X и интеграл (32.1) заменой переменных (32.3) приведется к виду:

Дифференцируя (32.4), получим формулу для плотности вероятности случайной величины К:

Если, в частности, величина является линейной функцией случайной величины X:

то формулы (32.2) и (32.3) принимают вид:

Подставляя последнее выражение в (32.5), получим формулу для плотности вероятности линейной функции случайной величины:

Эта формула показывает, что при линейном преобразовании случайной величины кривая плотности вероятности не изменяет своего характера, а только смещается вдоль оси абсцисс и при этом масштабы на осях координат изменяются обратно пропорционально друг другу.

Рис. 14.

Формула (32.9) позволяет, в частности, выразить плотность вероятности данной случайной величины через плотность вероятности соответствующей нормированной величины (см. § 13), и наоборот. При формула (32.9) выражает плотность вероятности случайной величины К через плотность вероятности нормированной величины При формула (32.9) выражает плотность вероятности нормированной случайной величины через плотность вероятности величины

Пользуясь формулой (32.9), легко убедиться в том, что момент порядка нормированной случайной величины У равен где — центральный момент порядка случайной величины Если случайная величина X распределена нормально, то, подставляя в (32.9) выражение (11.6) нормальной плотности вероятности, получим:

Таким образом, линейная функция нормально распределенной случайной величины также распределена нормально. Этот же результат непосредственно вытекает из формул (25.5) и (25.18).

Совершенно таким же методом можно определить закон распределения векторной функции векторного случайного аргумента. Пользуясь формулами (14.13) и (15.13), найдем функцию распределения случайного вектора У, составляющие которого определяются формулой (30.3):

где интегрирование распространено на все значения переменных удовлетворяющие написанным под знаком интеграла неравенствам. Определив функцию распределения случайного вектора К, найдем его плотность вероятности по формуле (15.16). Так же, как в случае скалярной функции скалярного случайного аргумента, область интегрирования в (32.11) упрощается соответствующей заменой переменных, если существуют однозначные обратные по отношению к (30.3) функции. В этом случае интегрирование по некоторым (или по всем) переменным может быть выполнено. Однако мы не будем развивать здесь дальше этот метод, так как в следующем параграфе мы выведем соответствующие формулы другим методом.

Пример 1. Найти закон распределения случайной величины

если случайная величина X распределена нормально и ее математическое ожидание равно нулю.

Плотность вероятности случайной величины X выражается в данном случае формулой

Уравнение (32.2) в данном случае имеет вид:

Это уравнение имеет, очевидно, однозначное решение

Подставляя это выражение в формулу (32.5), найдем плотность вероятности случайной величины :

Пример 2. Найти закон распределения случайной величины

если случайная величина X распределена нормально и ее математическое ожидание равно нулю:

Плотность вероятности случайной величины X в данном случае выражается той же формулой (32.13). Уравнение (32.2) имеет в данном случае вид:

Это уравнение не имеет решения при отрицательных значениях у и имеет два решения в области возможных значений случайной величины X при любом положительном . Поэтому формула (32.5) в данном случае неприменима, и для нахождения закона распределения случайной величины придется воспользоваться общей формулой (32.1), определяющей функцию 1 распределения произвольной функции случайной величины. Тогда получим при

При функция распределения случайной величины У, очевидно, равна нулю. Применяя для вычисления вероятности в формуле (32.19) формулу (11.13), найдем функцию распределения случайной величины У:

Дифференцируя эту формулу по у и принимая во внимание (11.8), найдем плотность вероятности случайной величины :

Пример 3. Найти закон распределения случайной величины

где функция определяется формулой

если случайная величина X распределена равномерно в интервале

В данном случае уравнение (32.2) имеет бесчисленное множество решений в области возможных значений случайной величины X (т. е. в интервале ) при двух значениях Следовательно, формулу (32.5) в данном случае применить нельзя. Придется воспользоваться общей формулой (32.1) для функции распределения произвольной функции случайной величины. Этим способом данная задача была решена в примере § 9.