ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

§ 7. Функция распределения

Согласно данному в § 2 определению случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта принимает одно и только одно из множества возможных значений. Мы будем обозначать случайные величины большими буквами, преимущественно из конца латинского алфавита, а их возможные значения — соответствующей малыми буквами. Так, например, случайные величины будем обозначать буквами а их возможные значения — буквами

Для того чтобы полностью охарактеризовать случайную величину, необходимо задать множество ее возможных значений и дать способ определения и сравнения между собой вероятностей этих значений. Такая характеристика случайной величины называется ее законом распределения. Закон распределения случайной величины может быть задан в различных формах. Так, например, для прерывной случайной величины, возможные значения которой отделены друг от друга конечными промежутками, не содержащими возможных значений, закон распределения может быть задан в виде последовательности возможных значений и соответствующих вероятностей

Вероятности должны удовлетворять условию

так как, согласно определению случайной величины, события несовместны и образуют полную группу. Однако не для всех случайных величин закон распределения может быть задан

в форме равенств (7.1). Например, для случайных величин, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток числовой оси, невозможно задать закон распределения в форме равенств (7.1). Поэтому приходится пользоваться другими формами закона распределения.

Наиболее общей формой закона распределения случайной величины является ее функция распределения. Функцией распределения или интегральным законом распределения скалярной случайной величины X называется вероятность выполнения неравенства рассматриваемая как функция переменной

Зная функцию распределения случайной величины X, можно определить вероятность попадания значения этой величины на любой данный интервал числовой оси, т. е. вероятность неравенства при любых значениях Так как событие является суммой несовместных событий и то, согласно принципу сложения вероятностей,

Отсюда на основании определения функции распределения находим:

Переходя к пределу при получим:

Таким образом, вероятность того, что случайная величина примет данное значение а, равна скачку функции распределения в точке а. Если функция распределения непрерывна при то вероятность того, что случайная величина примет значение а, равна нулю. В этом случае формула (7.5) может быть переписана в виде:

так как событие представляет собой сумму несовместных событий а вероятность события равна нулю.

Формула (7.5) показывает, что всякая функция распределения является неубывающей функцией. Из этого свойства функции распределения следует, что при величина представляет собой монотонную неубывающую переменную, ограниченную сверху единицей. Следовательно, существует предел не превосходящий единицу. Аналогично убеждаемся в существовании неотрицательного предела В теории вероятностей обычно

сматриваются только такие случайные величины, все возможные значения которых конечны. Для таких случайных величин вероятность неравенства как угодно близка к единице при достаточно большом х и как угодно близка к нулю при достаточно большом по абсолютной величине отрицательном х. Таким образом, для любой функции распределения

Если функция распределения возрастает в каждой точке интервала то возможные значения случайной величины непрерывно заполняют этот интервал, так как, согласно формуле (7.5), вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в сколь угодно малой части этого интервала, отлична от нуля. Если интервал не содержит ни одного возможного значения случайной величины, то функция распределения постоянна в этом интервале.

Если функция распределения непрерывна на всей числовой оси, то вероятность каждого ее возможного значения равна нулю. Этот вывод на первый взгляд парадоксален. Однако он вполне согласуется с данным в § 2 определением вероятности события. Равенство нулю вероятности события характеризует тенденцию частоты этого события неограниченно убывать при увеличении числа опытов и ни в какой мере не означает, что данное событие невозможно.

Легко доказать, что множество всех точек разрыва функции распределения всегда счетно. Действительно, функция распределения может иметь лишь конечное число скачков, превосходящих как бы мало ни было Отсюда следует, что, расположив точки разрыва функции распределения в порядке убывания скачков, мы можем все их перенумеровать.

Изученные свойства функций распределения дают общее представление о характере функций распределения и изображающих их кривых (рис. 4). В частности, функция распределения прерывной случайной величины представляет собой ступенчатую функцию, имеющую в точках скачки, соответственно равные (рис. 5). Аналитически функция распределения прерывной случайной величины X выражается формулой:

где неравенство под знаком суммы означает, что сумма распространяется на все значения для которых это неравенство удовлетворяется.

Закон распределения случайной величины X можно также определить, задав для каждого множества А точек числовой оси вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение из этого множества:

Эта вероятность представляет собой функцию множества А и называется вероятностной мерой или вероятностной функцией случайной величины

Рис. 4.

Рис. 5.

Вероятностная мера, так же как и функция распределения, является исчерпывающей характеристикой случайной величины. Зная вероятностную меру случайной величины X, можно определить значение ее функции распределения при любом х как значение вероятностной меры, соответствующее множеству всех точек интервала

С другой стороны, формулы (7.5) и (7.6) выражают вероятностную меру через функцию распределения для всех множеств, представляющих собой интервалы или изолированные точки. Пользуясь этими формулами и принципом сложения вероятностей, можно определить значения вероятностной меры для любых множеств точек числовой оси.

Пример 1. Найти закон распределения числа появлений события при опытах.

Число появлений события при опытах представляет собой прерывную случайную величину, возможными значениями которой являются все целые числа от нуля до включительно. Вероятности этих значений для случая независимых опытов вычисляются способом, изложенным в § 6. Определив эти вероятности найдем закон распределения числа X появлений события в форме равенств:

Функция распределения числа появлений события при опытах, согласно (7.9), выразится формулой:

В частном случае одинаковых условий опыта, когда вероятности определяются формулой (6.4), закон распределения числа появлений события при опытах обычно называется биномиальным.

Частота события при опытах также представляет собой прерывную случайную величину, причем ее возможными значениями являются все положительные правильные дроби, имеющие знаменатель а также числа О и 1. Так как частота К события равна числу его появлений X, деленному на , то закон распределения частоты события при опытах получается заменой равенства в формуле (7.12) равенством и величины в неравенстве под знаком суммы в формуле (7.13) величиной

Пример 2. Найти функции распределения наибольшего и наименьшего значений случайной величины X при независимых опытах, считая известной функцию распределения величины

Обозначим через значение, которое принимает случайная величина X в результате опыта а через соответственно наименьшую и наибольшую из величин По условию величины являются независимыми случайными величинами, имеющими одну и ту же функцию распределения Так как неравенство выполняется тогда и только тогда, когда все величины меньше то событие является произведением независимых событий Следовательно, на основании формул (4.7) и (7.3)

Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда все величины не меньше . Следовательно, на основании (3.3), (4.7) и (7.3)