ГЛАВА 12. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§ 81. Преобразование функций динамическими системами. Понятие оператора

Одной из важнейших практических задач теории случайных функций является задача преобразования случайной функции, в результате которого получается некоторая другая случайная функция. В главе 8 мы уже сталкивались с примерами преобразования случайной функции, дающего в результате другую случайную функцию, а именно с преобразованием случайной функции при помощи математических операций дифференцирования и интегрирования. В приложениях часто приходится встречаться с преобразованием случайной функции различными физическими системами или приборами. Рассмотрим в качестве примера некоторую систему автоматического управления. Всякая система автоматического управления имеет в своем составе измерительные элементы, в соответствии с показаниями которых производится управление объектом. Измерительные элементы всегда работают с некоторыми ошибками, причем их ошибки в общем случае являются случайными функциями времени или даже случайными функциями времени и величин, определяющих состояние управляемого объекта. Эти случайные функции суммируются с истинными значениями измеряемых величин и вместе с ними образуют результаты измерений, поступающие в систему управления. Содержащиеся в результатах измерений случайные функции — ошибки измерений — оказывают соответствующее влияние на управление объектом. В результате состояние управляемого объекта будет в каждый данный момент случайным. Величины, определяющие состояние управляемого объекта, будут случайными функциями времени, которые являются результатом преобразования случайных ошибок измерения системой автоматического управления. Определение вероятностных характеристик состояния управляемого объекта по данным вероятностным характеристикам ошибок измерительных элементов является важнейшей задачей теории точности систем автоматического управления.

В качестве второго примера рассмотрим прицельный прибор для управления артиллерийской стрельбой по движущейся цели. Любой прибор такого рода вырабатывает координаты упрежденной точки на основе непрерывного измерения текущих координат цели. Измерение текущих координат цели сопровождается ошибками, которые являются случайными функциями времени. В результате координаты упрежденной точки вырабатываются прибором с ошибками, которые также являются случайными функциями времени. Эти случайные функции времени являются результатом преобразования данным прицельным прибором случайных ошибок измерения текущих координат цели. Определение вероятностных характеристик координат упрежденной точки по данным вероятностным характеристикам текущих координат цели является основной задачей теории точности прицельных приборов. Другой важнейшей задачей теории точности прицельных приборов является проектирование прибора, обеспечивающего в известном смысле наилучшую точность определения координат упрежденной точки при данных вероятностных характеристиках текущих координат цели.

В качестве третьего примера рассмотрим полет самолета в турбулентной атмосфере. Вектор скорости ветра является случайной функцией координат точки пространства и времени. Случайные изменения вектора скорости ветра при перемещении самолета в пространстве вызывают случайные колебания (флуктуации) действующих на самолет аэродинамических сил и моментов. В результате самолет получает случайные линейные и угловые ускорения, испытывает так называемую «болтанку». При этом все элементы движения самолета: координаты и вектор скорости его центра массы, углы, определяющие положение его осей, и вектор угловой скорости, оказываются случайными функциями времени. Самолет и его система управления (автоматическая или включающая летчика) в данном случае образуют динамическую систему, осуществляющую преобразование случайной функции — вектора скорости ветра — и дающую в результате другие случайные функции — координаты и вектор скорости центра массы самолета, углы, определяющие положение его осей, и вектор угловой скорости. Определение вероятностных характеристик всех перечисленных элементов движения самолета по данным вероятностным характеристикам вектора скорости ветра и определение характеристик самолета и его системы управления, обеспечивающих в известном смысле наименьшую реакцию самолета на «болтанку» и наибольшие удобства для пассажиров, являются важнейшими задачами теории управления полетом.

Приведенных примеров достаточно для того, чтобы понять, насколько важной практической задачей теории случайных функций является задача определения вероятностных характеристик случайных функций, полученных в результате некоторого преобразования других случайных функций, вероятностные характеристики которых известны,

С математической точки зрения совершенно не имеет значения физическая природа той системы, при помощи которой осуществляется рассматриваемое преобразование случайных функций. Имеет значение лишь тот закон, та совокупность математических операций, при помощи которых данная система ставит в соответствие заданным функциям другие функции. Совокупность математических операций, в результате выполнения которых данным функциям приводятся в соответствие некоторые другие функции, в математике называется оператором. Понятие оператора является естественным обобщением понятий функции и функционала. Функционал представляет собой переменную величину, значение которой определяется заданием функции (т. е. функцию от функции или функцию, зависящую от значений всех ординат некоторой кривой). Функция представляет собой переменную величину, значение которой определяется значением другой переменной величины (аргумента). Оператор определяет функцию заданием другой функции. Иными словами, оператор определяет зависимость в общем случае бесконечного множества переменных величин — значений функции при различных значениях аргумента — от другой функции. Совокупность математических операций, объединяемых понятием оператора, может включать все известные математические операции: дифференцирование, интегрирование, решение дифференциальных, интегральных и любых других функциональных уравнений.

Соответствие между функциями устанавливаемое оператором математически записывается в виде:

или, более подробно,

Запись (81.1) или (81.2) означает, что функция получается в результате преобразования функции оператором А или, что то же, в результате применения оператора А к функции

Аргументы функций х и у в общем случае могут представлять собой различные величины, как скалярные, так и векторные различных чисел измерений. Так, например, если случайные ошибки измерительных приборов, входящих в состав системы автоматического управления, зависят не только от времени, но и от параметров состояния управляемого объекта, то система автоматического управления будет определять случайные функции времени как результат преобразования случайных функций нескольких переменных. В приведенном выше примере полета самолета в турбулентной атмосфере самолет и его система управления представляют собой динамическую систему, преобразующую случайную функцию координат точки пространства и времени—вектор скорости ветра — и дающую в результате случайные функции времени—величины, определяющие положение самолета. Аргумент в этом случае представляет собой четырехмерный

вектор, составляющими которого являются координаты точки пространства и время, а аргумент представляет собой время. В частном случае аргументы функций могут быть значениями одной и той же переменной, например времени. Этот случай особенно часто встречается в теории автоматического управления.

Формулы (81.1) и (81.2) можно понимать и как запись преобразования векторной функции, в результате которого получается другая векторная функция. Для этого следует, применяя обычный в этой книге прием, рассматривать составляющие векторных функций как скалярные функции их аргументов и номеров и в соответствии с этим включить в число аргументов, обозначенных буквой номер составляющей векторной функции х, а в число аргументов, обозначенных буквой номер составляющей векторной функции у. Таким образом, формулы (81.1) и (81.2) имеют весьма общий характер.

Оператор А называется линейным, если для него справедлив принцип суперпозиции, который математически выражается формулой

при любых и при любых функциях

Эта формула показывает, что результат преобразования линейным оператором суммы любых функций равен сумме результатов преобразования отдельных слагаемых тем же линейным оператором, а результат преобразования линейным оператором произведения любой функции на произвольную постоянную равен произведению результата преобразования этой функции на ту же постоянную. Следует подчеркнуть, что согласно данному определению оператор А является линейным тогда и только тогда, когда формула (81.3) справедлива при любом для любых постоянных и для любых функций Если формула (81.3) справедлива только при некотором определенном выборе величин и функций то оператор нелинейный.

В приложениях часто приходится иметь дело с неоднородным линейным преобразованием функции, которое представляет собой сумму результата преобразования данной функции произвольным линейным оператором и некоторой определенной функции:

В этой формуле через А обозначен неоднородный линейный оператор, через линейный оператор, а через определенная функция, не зависящая от функции-аргумента При изучении линейных преобразований случайных функций можно ограничиться однородными линейными преобразованиями, так как от прибавления вполне определенной функции к случайной функции ее

корреляционная функция не изменяется, а математическое ожидание изменяется на

Примерами линейных операторов могут служить оператор дифференцирования

линейный интегральный оператор

и более общий линейный интегро-дифференциальный оператор

К линейному интегральному оператору или к линейному интегро-дифференциальному оператору приводится оператор решения произвольного обыкновенного линейного дифференциального уравнения

В качестве примеров нелинейных операторов можно привести нелинейный интегральный оператор

где данная функция, нелинейная относительно переменной х, и оператор решения нелинейного дифференциального уравнения

В дальнейшем мы встретимся и с другими видами нелинейных операторов.

Пример. Рассмотрим частный случай интегрального оператора (81.9), когда функция нелинейна относительно первого аргумента и удовлетворяет условию при любых Примером такой функции может служить Возьмем неперекрывающихся интервалов изменения переменной и определим функцию так, чтобы она была равна нулю вне интервала оставив ее произвольной в интервале Очевидно, что для всех таких функций при любом выборе неперекрывающихся интервалов рассматриваемый интегральный оператор (81.9) удовлетворяет условию (81.3) при Однако этот оператор не удовлетворяет условию (81.3) для других значений величин и для таких функций среди которых имеются хотя бы две, не обращающиеся в нуль в некотором интервале изменения Следовательно, оператор (81.9) является нелинейным, если функция нелинейна относительно х.