§ 96. Исследование точности многомерных линейных систем, близких к стационарным

Формулы § 94 легко обобщаются на многомерные линейные системы, близкие к стационарным. Обобщая определение § 94, мы назовем многомерную линейную систему близкой к стационарной, если установившаяся реакция на любом выходе этой системы на возмущение, близкое к показательной функции времени, действующее на любом ее входе, представляет собой функцию времени, близкую к показательной. Предположим, что векторная случайная функция, составляющими которой являются действующие на входах системы случайные возмущения, может быть выражена интегральным каноническим представлением (95.1), координатные функции которого являются линейными комбинациями показательных функций с медленно изменяющимися коэффициентами:

где медленно изменяющиеся функции времени Тогда векторная случайная функция, составляющими которой являются выходные переменные системы, выразится таким же интегральным каноническим представлением, координатные функции которого определятся формулой

где медленно изменяющиеся функции времени Корреляционная функция векторной случайной функции, составляющими которой являются выходные переменные системы определится общей формулой (95.4).

Если поведение системы, близкой к стационарной, описывается системой линейных дифференциальных уравнений

где полиномы относительно оператора дифференцирования с медленно изменяющимися коэффициентами, то совершенно так же, как в § 94, получаем для определения медленно изменяющихся функций времени соответствующих данным значениям индексов и систему линейных дифференциальных уравнений

где Для решения этой системы уравнений можно применить метод последовательных приближений. В первом приближении, пренебрегая производными медленно изменяющихся функций и получим для определения функций систему линейных алгебраических уравнений

Во втором приближении, учитывая только первые производные медленно изменяющихся функций и принимая производные функций приближенно равными производным функций найденных в первом приближении, получим для определения функций систему линейных алгебраических уравнений

Аналогично можно определить следующие приближения. Однако формулы для искомых функций будут сильно усложняться с каждым следующим приближением. Поэтому практически этот метод целесообразен только в тех случаях, когда второе приближение дает функции с достаточной для практики точностью. Критерием достаточной точности второго приближения может служить малость поправок к первому приближению, которые дает второе приближение. Имея в виду конечную цель — вычисление дисперсий

а корреляционных моментов выходных переменных системы, можно признать второе приближение достаточно точным, если оно дает поправки к первому приближению, не превышающие 30%.

Изложенный метод может дать вероятностные характеристики выходных переменных многомерной линейной системы, близкой к стационарной, с достаточной точностью только в том случае, если система асимптотически устойчива, и только для моментов времени, достаточно удаленных от начального для того, чтобы можно было считать законченными все переходные процессы.