§ 85. Весовые функции многомерных линейных систем

На основании принципа суперпозиции все выходные переменные линейной системы при одновременном действии возмущений на всех входах можно представить в виде сумм их значений, соответствующих действию каждого входного возмущения в отдельности. Обозначая выходные переменные системы через их значения, соответствующие действию только одного возмущения на входе, через получим:

Каждая из функций представляет собой результат преобразования возмущения некоторым линейным оператором:

Следовательно, выразив возмущающую функцию формулой вида (83.1), получим на основании формул (82.4), (82.5) и (82.6), так же как и в случае одномерной системы,

где

— весовая функция рассматриваемой линейной системы, представляющая собой реакцию на ее выходе в момент на единичный импульс, действующий на входе в момент х. Подставляя выражение (85.3) в (85.1), получим:

Таким образом, зная весовые функции линейной системы можно определить ее реакцию на любые возмущения действующие одновременно на всех ее входах, по формуле (85.5). Следовательно, совокупность весовых функций -мерной линейной системы, имеющей входов, полностью характеризует ее динамические свойства.

Все весовые функции реальной многомерной динамической линейной системы равны нулю при

так как никакая реальная динамическая система не может реагировать в данный момент на возмущения, действующие на нее после

этого момента. Равенства (85.6) представляют собой условие физической возможности многомерной линейной системы. На основании (85.6) формула (85 5) для физически возможной системы, находящейся в состоянии покоя до момента может быть представлена в виде:

где согласно принятому в § 83 условию пределы интегрирования всегда включаются в интервал интегрирования.

Рассмотрим последовательное соединение двух многомерных линейных систем. Предположим, что первая система имеет входов и выходов, а вторая система имеет входов и выходов. Обозначим весовые функции первой системы через а весовые функции второй системы — через Тогда, если на входы первой системы действуют возмущения то ее выходные переменные равны Эти переменные служат входными возмущениями для второй системы, а выходные переменные второй системы представляют собой весовые функции последовательного соединения первой и второй систем. Применяя для вычисления выходных переменных второй системы формулу (85.5), получим для весовых функций последовательного соединения двух линейных систем формулу

Для физически возможных систем эта формула может быть представлена в виде:

Заметим, что изменять порядок последовательного соединения двух многомерных линейных систем можно только в том случае, когда число выходов второй системы равно числу входов первой системы .

Применяя последовательно формулу (85.8) или (85.9), можно определить весовые функции системы, полученной в результате последовательного соединения любого числа многомерных линейных систем.

Если соединить последовательно две взаимно обратные многомерные линейные системы, то будем иметь в формулах (85.8) и и весовая функция будет равна а остальные весовые функции будут тождественно равны нулю. В

результате получим следующие соотношения между весовыми функциями взаимно обратных многомерных линейных систем:

Для физически возможных систем эти формулы могут быть представлены в виде:

В этих формулах, как и в формуле (85.9), пределы интегрирования, согласно принятому условию, всегда включаются в интервал интегрирования.

Системой, сопряженной с данной многомерной линейной системой, называется такая линейная система, число входов которой равно числу выходов данной системы, число выходов равно числу входов данной системы, а весовые функции получаются из весовых функций данной системы перестановкой индексов и аргументов. Согласно этому определению, если весовые функции данной системы обозначить через то весовые функции сопряженной системы определятся равенствами:

На основании (85.6) система, сопряженная с физически возможной системой, является физически невозможной. Однако, так же как и в случае одномерных систем, систему, сопряженную с физически возможной многомерной системой, можно моделировать, приняв за независимую переменную отрицательное время и моделируя ее реальным временем.

Моделирование сопряженной системы дает весовые функции данной системы в зависимости от второго аргумента при фиксированном значении первого аргумента, что и требуется для вычислений по формулам (85.5) и (85.7).

Из формулы (85.8), так же как и в случае одномерных систем, выводим, что системой, сопряженной с последовательным соединением многомерных линейных систем, является последовательное соединение соответствующих сопряженных систем, взятых в обратном

порядке. Отсюда следует, что системы, сопряженные с двумя взаимно обратными системами, также являются взаимно обратными. Таким образом, все свойства сопряженных систем, выведенные в § 83 для одномерных систем, справедливы и для многомерных систем.

Найдем систему, сопряженную с точкой разветвления. Точка разветвления представляет собой систему с одним входом и несколькими выходами, все выходные переменные которой равны входному возмущению. Следовательно, точка разветвления является линейной системой, весовые функции которой равны:

Сопряженной системой, согласно определению (85.14), будет система с входами и одним выходом, имеющая весовые функции

Выходная переменная этой системы на основании (85.5) будет равна:

Эта формула показывает, что точка разветвления с выходами и сумматор с входами являются взаимно сопряженными линейными системами.

Рассмотрим многомерные линейные системы, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями (конечно, линейными). Сначала рассмотрим линейную систему с входами и выходами, выходные переменные которой связаны со входными возмущениями формулами

Весовые функции этой системы определяются формулами

Весовые функции сопряженной системы на основании определения (85.14) равны

Следовательно, согласно (85.5), связь между входными и выходными переменными сопряженной системы имеет вид:

Переходя к обратным системам, приходим к выводу, что системой, сопряженной с системой, описываемой дифференциальными уравнениями

является система, поведение которой описывается уравнениями

Система дифференциальных уравнений (85.23) называется в теории дифференциальных уравнений сопряженной с системой уравнений (85.22).

Весовые функции физически возможной линейной системы, описываемой уравнениями (85.22), представляют собой интегралы систем уравнений

удовлетворяющие условию (85.6). Совершенно так же, как это было сделано в предыдущем параграфе, -функции в правых частях уравнений (85.24) можно заменить соответствующими начальными условиями. Тогда весовые функции рассматриваемой системы определятся как интегралы систем однородных уравнений

удовлетворяющие начальным условиям

Весовые функции рассматриваемой системы как функции второго аргумента определяются сопряженной системой уравнений (85.23), в которой возмущения следует заменить по очереди -функцией, приняв остальные возмущения равными нулю. Тогда весовые функции рассматриваемой системы определятся как интегралы систем уравнений

удовлетворяющие условию (85.6). Заменяя -функции соответствующими условиями на конце определим весовые функции

как интегралы систем однородных уравнений

удовлетворяющие условиям

Для того чтобы найти реакцию рассматриваемой системы на произвольные возмущения при произвольных начальных условиях

достаточно в формуле (85.7) заменить функции функциями

Перейдем теперь к общему случаю системы, поведение которой описывается линейными дифференциальными уравнениями вида

где произвольные линейные дифференциальные операторы. Рассмотрим сначала упрощенную систему, поведение которой описывается уравнениями

Весовые функции обратной системы, очевидно, равны

Следовательно, весовые функции системы, сопряженной с обратной, на основании определения (85.14) равны

Применяя формулу (85.5) и меняя местами входные возмущения и выходные переменные сопряженной системы, получим дифференциальные уравнения системы, сопряженной с системой, поведение которой описывается уравнениями (85.33):

На основании определения весовые функции физически возможной системы, поведение которой описывается уравнениями (85.33),

представляют собой интеграл системы линейных дифференциальных уравнений

удовлетворяющий условию (85.6). Если рассматривать весовые функции системы, поведение которой описывается уравнениями (85.33), как функции второго аргумента при фиксированном значении первого аргумента, то на основании определения сопряженной системы (85.14) они представляют собой интеграл сопряженной системы уравнений

удовлетворяющий условию (85.6). Совершенно так же, как в случае одномерных систем, импульсные функции в правых частях уравнений (85.37) и (85.38) могут быть заменены соответствующими граничными условиями на конце При этом значения производных функций при определяются совершенно так же, как в одномерном случае.

Система, поведение которой описывается уравнениями (85.32), представляет собой последовательное соединение системы с входами и выходами, весовые функции которой равны

и системы, поведение которой описывается уравнениями (85.33). Следовательно, применяя формулу (85.8), мы выразим весовые функции системы, поведение которой описывается уравнениями (85.32), через операторы и весовые функции системы, описываемой уравнениями (85.33):

Эта формула определяет весовые функции рассматриваемой системы в зависимости от второго аргумента при фиксированном значении первого аргумента после предварительного определения весовых функций путем интегрирования уравнений (85.38).

Весовые функции системы, поведение которой описывается уравнениями (85.32), рассматриваемые как функции первого аргумента при фиксированном значении второго аргумента, представляют собой интегралы систем дифференциальных уравнений

удовлетворяющие условию (85.6).

Практически часто бывает удобно заменять системы дифференциальных уравнений, описывающие поведение динамических систем, равноценными системами дифференциальных уравнений первого порядка. Это всегда можно сделать, вводя соответствующие дополнительные переменные. Для дальнейшего нам понадобится привести уравнение (84.17) к равноценной системе уравнений первого порядка. При этом мы ограничимся случаем, когда порядок оператора не больше порядка оператора Рассмотрим сначала случай, когда Введем новые переменные

где некоторые функции, которые мы определим из условия, чтобы полученные уравнения первого порядка не содержали производных возмущения х. Из формул (85.42) находим:

Изменяя в этой формуле порядок суммирования, получим:

Дифференцируя формулу (85.44), соответствующую будем иметь:

Подставляя выражения (85.43), (85.45) и (85.46) в уравнение (84.17) и принимая во внимание (84.18), получим:

Сравнивая коэффициенты при соответствующих производных возмущения х в правой и левой частях уравнения (85.47), получим уравнения для определения функций

Последнее из этих уравнений, соответствующее дает:

Для решения остальных уравнений (85.48) заметим, что

Подставляя это выражение в (85.48) и полагая получим:

Отсюда получгем рекуррентную формулу для определения функций

После определения функций уравнение (84.17) на основании (85.42), (85.47) и (85.48) заменится системой уравнений первого порядка:

где

Так как

то формула (85.54), определяющая функцию может быть переписана в виде:

Очевидно, что эта формула совпадает с формулой (85.52) при Таким образом, все функции определяются формулой (85.52).

Случай можно рассматривать как частный случай, когда В этом случае формулы (85.49) и (85.52) дают:

Таким образом, в случае, когда порядок оператора меньше порядка оператора уравнение (84.17) приводится к системе уравнений первого порядка (85.53), в которой функции Равны нулю, а функции определяются формулами (85.58).

Пример. Заменить системой уравнений первого порядка уравнение (84.46), рассмотренное в примере 2 § 84.

В данном случае Следовательно, формулы (85.57) и (85.58) дадут:

и система уравнений (85.53) примет вид: