§ 34. Закон распределения суммы случайных величин

Пользуясь формулой (33.10), можно найти плотность вероятности суммы случайных величин:

Единственное уравнение (33.7) принимает в данном случае вид:

Решая это уравнение относительно находим:

Пользуясь формулой (33.10), получим на основании (34.3) для плотности вероятности суммы формулу

Аналогично получим формулу

Формулы (34.4) и (34.5), очевидно, приводятся одна к другой заменой переменных.

В частном случае, когда случайные величины независимы, двумерная плотность вероятности согласно формуле (16.9), равна произведению плотностей вероятности случайных величин X и Y:

и формулы (34.4) и (34.5) принимают вид:

Эта формула обычно называется формулой композиции законов распределения и коротко записывается следующим образом:

Подставляя в (34.4) или (31.5) выражение (22.1) двумерной нормальной плотности вероятности и выполняя интегрирование по формуле (9.19), приходим к заключению, что сумма двух нормально распределенных случайных величин распределена нормально. В частности, композиция двух нормальных законоз распределения дает нормальный закон распределения. Этот результат является, конечно, частным случаем полученного в предыдущем параграфе общего результата, так как сумма является линейной функцией слагаемых.

Совершенно так же можно вывести формулу для плотности вероятности суммы двух -мерных случайных векторов:

Решая уравнения

относительно находим:

На основании (33.10) и (34.11) получим следующую формулу для плотности вероятности суммы двух случайных векторов:

Если уравнения (34.10) решить относительно то получим другую формулу:

Формулы (34.12) и (34.13) приводятся одна к другой заменой переменных.

Если случайные векторы X к независимы (§ 16), то

и формулы (34.12) и (34.13) принимают вид:

Эта формула определяет композицию законов распределения двух случайных векторов.

Формулы (34.4), (34.5) и (34.7) можно рассматривать как сокращенную запись формул (34.12), (34.13) и (34.15) соответственно, если понимать в них как -мерные векторы, а интегралы понимать как -кратные интегралы по переменным или Формулу композиции законов распределения случайных векторов (34.15) можно также коротко записать в виде (34.8).

Пример. Найти композицию двух законов Пуассона:

Подставляя выражения (34.16) в (34.7), получим:

Таким образом, композиция законов Пуассона дает закон Пуассона с параметром, равным сумме параметров компонируемых законов. Последний вывод вытекает также непосредственно из теоремы сложения математических ожиданий (19.11), если учесть, что параметр закона Пуассона представляет собой математическое ожидание случайной величины. Полученный результат является также непосредственным следствием формул (25.8) и (25.22).