§ 16. Условные функции распределения и плотности вероятности

Пользуясь понятием условной вероятности, можно определить условные функции распределения случайных величин относительно тех или иных событий. События, относительно которых определяется условная функция распределения, обычно заключаются в том, что некоторые случайные величины удовлетворяют определенным неравенствам, или в том, что случайная точка, соответствующая этим случайным величинам, попадает в определенную область.

Условной функцией распределения случайной величины X относительно события В называется условная вероятность неравенства относительно события В. Если событие В заключается в том, что случайная величина У удовлетворяет неравенству то это определение дает условную функцию распределения случайной величины X относительно неравенства

Выражая здесь вероятности неравенств через функции распределения по формулам (7.5) и (14.2), получим:

Можно также выразить вероятности в формуле (16.1) через соответствующие плотности вероятности по формулам (8.5) и (15.3). Тогда получим выражение условной функции распределения через плотности вероятности случайных величин :

Наибольший практический интерес представляет условная функция распределения случайной величины X относительно равенства которую мы будем называть условной функцией распределения случайной величины X относительно К и обозначать через Полагая в формуле и переходя к пределу при получим следующую формулу для условной функции распределения случайной величины X относительно

На основании общего определения плотности вероятности условными плотностями вероятности называются производные соответствующих условных функций распределения. В частности, условной плотностью вероятности случайной величины X относительно называется производная по х условной функции распределения случайной величины X относительно К. Дифференцируя формулу (16.4) по х и обозначая условную плотность вероятности случайной величины X относительно К через получим:

Эта формула дает выражение условной плотности вероятности случайной величины X относительно К через плотности вероятности случайных величин На основании (16.5) условная плотность вероятности случайной величины относительно X выразится формулой

Формулы (16.5) и (16.6) можно переписать в виде:

Таким образом, двумерная плртность вероятности случайных величин равна произведению плотности вероятности одной из них и условной плотности вероятности другой относительно первой.

Случайные величины называются зависимыми, если события зависимы при каких-нибудь значениях х, у. Случайные величины называются независимыми, если события и независимы при любых х, у. Так как вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, то совместная функция распределения двух независимых случайных величин на основании определений (14.1) и (7.3) равна произведению функций распределения случайных величин X и Y:

Подставляя это выражение в формулу (15.6) и выполняя дифференцирование, получим:

Таким образом, двумерная плотность вероятности двух независимых случайных величин равна произведению их плотностей вероятностей.

Легко убедиться в том, что равенство (16.9) является не только необходимым, но и достаточным условием независимости двух случайных величин. Для этого достаточно подставить выражение (16.9) в формулу (15.5) и выполнить интегрирование. Тогда, принимая во внимание (8.6), получим (16.8), что и свидетельствует о независимости случайных величин

Подставляя выражение (16.8) в формулу (16.2), получим:

Таким образом, все условные функции распределения случайной величины X относительно неравенств вида совпадают с безусловной функцией распределения случайной величины X, если случайные величины независимы. Следовательно, для независимых случайных величин и все условные плотности вероятности совпадают с безусловными. В частности,

Легко понять, что любое из равенств (16.11) является необходимым и достаточным условием независимости величин

Считая событием В в определении условной функции распределения выполнение неравенства получим условную функцию распределения случайной величины X относительно неравенства

Вероятность в числителе этого выражения, очевидно, равна нулю при равна вероятности выполнения неравенства при и равна вероятности выполнения неравенства при Следовательно, на основании формулы (7.5)

Дифференцируя эту формулу, найдем условную плотность вероятности случайной величины относительно неравенства

Все приведенные определения и формулы легко обобщаются на -мерные случайные векторы. Условной функцией распределения -мерного случайного вектора X с составляющими относительно события В называется условная вероятность совместного выполнения неравенств относительно события В. Если событие В заключается в попадании случайной точки с координатами в некоторую -мерную область В, то на основании общей формулы (15.13) условная функция распределения случайного вектора X определится формулой

где плотность вероятности -мерного случайного вектора с составляющими плотность вероятности -мерного случайного вектора К с составляющими

Если событие В заключается в выполнении равенств то условную функцию распределения случайного вектора X относительно этого события мы будем называть условной функцией распределения случайного вектора X относительно вектора К и обозначать через или, короче, Для того чтобы найти выражение условной функции распределения случайного вектора X относительно К,

достаточно взять в формуле (16.15) бесконечно малую область В, содержащую точку и перейти к пределу, стягивая эту область в точку Тогда получим:

Дифференцируя эту формулу по одному разу по найдем условную плотность вероятности случайного вектора X относительно У:

Совершенно так же, как выше было дано определение зависимости и независимости двух скалярных случайных величин, можно дать определение зависимости и независимости двух случайных векторов. Для двух независимых случайных векторов совместная функция распределения равна произведению их функций распределения, а совместная плотность вероятности равна произведению их плотностей вероятности.

Случайные величины попарно независимы, если любые две из них независимы. Случайные величины независимы, если любые два случайных вектора, которые могут быть составлены из величин не имеющие общих составляющих, независимы.

Если событие В в определении условной функции распределения заключается в попадании случайной точки с координатами в некоторую -мерную область В, то условная плотность вероятности случайного вектора относительно события В определится формулой, аналогичной (16.14):

если точка лежит внутри области В. Вне области В условная плотность вероятности вектора X относительно события В равна нулю. Формулу (16.18) можно записать компактнее в векторной форме:

Пример 1. Случайный вектор с составляющими распределен равномерно внутри эллипса:

Найти плотности вероятности случайных величин а также их условные плотности вероятности относительно друг друга. Установить, зависимы или независимы случайные величины X и У.

Подставляя выражение (16.20) в формулу (15.8), находим плотность вероятности случайной величины X:

Аналогично найдем плотность вероятности случайной величины У:

Подставляя полученные выражения в формулы (16.5) и (16.6), найдем условные плотности вероятности случайных величин X и Y:

Очевидно, что случайные величины зависимы, так как их условные плотности вероятности не совпадают с безусловными и произведение их плотностей вероятности не равно их совместной плотности вероятности.

Пример 2. Принимаемый радиосигнал состоит из двух случайных импульсов В этом сигнале с вероятностью может находиться полезный сигнал, значение которого принимается равным единице. В случае отсутствия полезного сигнала в принимаемом сигнале его значение принимается равным нулю. Детектор пропускает сигнал, если и не

пропускает, если где - данная функция. Найти полную вероятность ошибки детектора (т. е. вероятность того, что детектор пропустит сигнал при отсутствии полезного сигнала или не пропустит сигнал при наличии полезного сигнала), если условная плотность вероятности сигнала относительно полезного сигнала равна

В данном случае полезный сигнал представляет собой прерывную случайную величину с двумя возможными значениями 1 и 0, вероятности которых равны соответственно Условная вероятность того, что детектор пропустит сигнал при отсутствии полезного сигнала, равна на основании (15.3):

Аналогично условная вероятность того, что детектор не пропустит сигнал при наличии полезного сигнала, равна:

Полная вероятность ошибки детектора на основании (5.2) равна:

Пример 3. В условиях предыдущего примера определить функцию так, чтобы вероятность ошибки детектора была минимальной (т. е. найти оптимальное преобразование сигнала детектором).

Если неизвестная функция, обеспечивающая минимум вероятности ошибки детектора то при замене ее любой другой функцией вероятность ошибки детектора увеличится. Для нахождения приращения вероятности ошибки заменим в (16.27) функцию функцией и вычтем (16.27) из полученной формулы. Тогда получим:

где интегрирование распространяется на полосу заключенную между двумя кривыми на плоскости имеющими уравнения соответственно (рис. 12). Положим теперь

где произвольная функция, действительный параметр. При оптимальной функции и произвольной фиксированной функции вероятность ошибки представляет собой функцию параметра а, имеющую минимальное значение при Для вычисления производной вероятности ошибки по а заметим, что ширина полосы 7 стремится к нулю при . Поэтому, заменяя в (16.28) интегрирование по х и у интегрированием по дуге кривой С и по нормали к ней и применяя к интегралу вдоль нормали

Рис. 12.

к кривой С теорему о среднем, получим с точностью до малых второго порядка относительно а:

где длина отрезка нормали к кривой С в точке заключенного между кривыми некоторая средняя точка этого отрезка (рис. 12). Разделив (16.30) на а и переходя к пределу при , найдем:

Так как вероятность ошибки должна иметь минимум при то

Функция зависит от того, как выбирается функция в (16.29). А так как вероятность ошибки должна иметь минимум при при любом выборе функции у, то равенство (16.32) должно удовлетворяться при любой функции Но это возможно только тогда, когда подынтегральная функция в (16.32) равна нулю в каждой точке кривой С. Иными словами, координаты точек искомой кривой С должны удовлетворять уравнению

Очевидно, что в области наивероятнейших значений сигнала при наличии полезного сигнала числитель левой части уравнения (16.33) больше, чем в области наивероятнейших значений сигнала при отсутствии полезного сигнала, а знаменатель — наоборот. Поэтому за функцию можно принять любую возрастающую функцию этого отношения. При этом величина с будет равна значению этой функции при аргументе, равном

Отношение условных плотностей вероятности в левой части уравнения (16.33) часто называют отношением Правдоподобия. В случае нормального условного закона распределения сигнала относительно полезного сигнала

в качестве функции целесообразно принять логарифм отношения правдоподобия. Тогда формулы (16.34) примут вид:

Рекомендуем читателю в качестве упражнения самостоятельно решить примеры 2 и 3 для случая, когда принимаемый сигнал состоит из случайных импульсов Кроме того, рекомендуем читателю найти еще функцию обеспечивающую условный минимум вероятности ошибки детектора при данной вероятности а ложного обнаружения полезного сигнала при его отсутствии в принимаемом сигнале [97, 100].