§ 84. Одномерные линейные системы, описываемые дифференциальными уравнениями

На практике часто приходится встречаться с линейными системами, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями. Из определения линейной системы следует, что уравнения, описывающие поведение любой линейной системы, являются линейными. Сейчас мы покажем, как определяются весовые функции линейных систем, поведение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями.

Сначала рассмотрим линейную систему с одним входом и одним выходом, выходная переменная которой у определяется линейным дифференциальным уравнением

где входное возмущение, линейный дифференциальный оператор, определяемый формулой (83.5). Для определения весовой функции этой системы достаточно заменить в уравнении (84.1) возмущение единичным импульсом Тогда получим для весовой функции рассматриваемой системы уравнение

Таким образом, весовая функция физически возможной линейной системы, поведение которой описывается дифференциальным уравнением (84.1), определяется как интеграл линейного дифференциального уравнения (84.2), тождественно равный нулю при Легко видеть, что уравнение (84-2) и условие физической возможности (83.6) однозначно определяют весовую функцию рассматриваемой системы.

При определении весовой функции путем интегрирования уравнения (84.2) с помощью математических машин непосредственный ввод в машину единичного импульса невозможен. Практически можно лишь приближенно имитировать единичный импульс кратковременным конечным возмущением. Однако это затруднение можно легко обойти. Действительно, из (84.2) и (83.5) следует, что в результате действия единичного импульса в момент времени х производная порядка функции получает в точке такой же разрыв, как импульсная функция При этом производная порядка функции изменяется в точке скачком на величину - а сама функция и ее производные до порядка включительно непрерывны в точке Следовательно, действие на рассматриваемую систему единичного импульса равноценно разрывному изменению производной ее выходной переменной на величину а и мы можем заменить уравнение (84.2) и условие (83.6)

однородным дифференциальным уравнением

и начальными условиями

где для краткости положено

Таким образом, при определении весовой функции рассматриваемой системы с помощью математических машин единичный импульс можно моделировать при помощи начальных условий (84.4).

Уравнение (84.2) и условие (83.6) или уравнение (84.3) и начальные условия (84.4) определяют весовую функцию как функцию первого аргумента при фиксированном значении второго аргумента. Для того чтобы определить весовую функцию в зависимости от второго аргумента при фиксированном значении первого аргумента, найдем соответствующую сопряженную систему. Для этого заметим, что система, поведение которой описывается уравнением (84.1), является обратной по отношению к системе, соответствующей линейному дифференциальному оператору Для этой системы сопряженная система была найдена в предыдущем параграфе. Она характеризуется соответствующим сопряженным линейным дифференциальным оператором который определяется формулой (83.24). Следовательно, на основании (83.26) системой, сопряженной с рассматриваемой линейной системой, является система, поведение которой описывается линейным дифференциальным уравнением

Это уравнение в теории дифференциальных уравнений называется сопряженным с уравнением (84.1).

Для определения весовой функции системы, сопряженной с системой, поведение которой описывается уравнением (84.1), достаточно в уравнении сопряженной системы (84.6) заменить возмущение 6 единичным импульсом — Следовательно, на основании определения сопряженной системы (83.19) весовая функция системы, поведение которой описывается уравнением (84.1), в зависимости от второго аргумента при фиксированном значении первого аргумента может быть определена как интеграл линейного дифференциального уравнения

удовлетворяющий условию (83.6),

Совершенно так же, как -функция в правой части уравнения (84.2) была заменена начальными условиями (84.4), -функция в правой, части уравнения (84.7) может быть заменена соответствующими условиями на конце На основании (84.7) и -функция в правой части уравнения (84.7) равноценна скачкообразному изменению — 1-й производной функции по х на величину при в результате которого она становится равной нулю при Отсюда следует, что весовая функция рассматриваемой системы удовлетворяет однородному линейному дифференциальному уравнению

и условиям на конце

Таким образом, весовая функция рассматриваемой системы может быть определена интегрированием уравнения (84.8) при условиях (84.9). При этом интегрирование следует начинать от точки и вести его в направлении убывания х (т. е. моделировать отрицательное время реальным временем в соответствии с общим замечанием о моделировании сопряженных систем, сделанным в предыдущем параграфе).

Весовая функция рассматриваемой системы, как и всякий интеграл однородного уравнения (84.3), может быть представлена как линейная комбинация линейно независимых интегралов уравнения (84.3). Предположим, что известны линейно независимых интегралов однородного уравнения Тогда весовая функция рассматриваемой системы выразится формулой

где постоянные интегрирования, которые определяются начальными условиями (84.4). Подставляя выражение (84.10) в (84.4), йолучим систему уравнений для определения

Решая эту систему уравнений и подставляя полученное выражение в (84.10), получим:

где через обозначен определитель Вронского функций

Принимая во внимание, что определители в числителе выражения (84.12) представляют собой миноры элементов последней строки определителя, стоящего в знаменателе, можем переписать формулу (84.12) в виде:

Аналогично можно представить весовую функцию рассматриваемую как функцию второго аргумента, в виде линейной комбинации линейно независимых интегралов сопряженного уравнения (84.8). Кстати, из сравнения полученного таким образом выражения с (84.10) будет следовать, что постоянные интегрирования в формуле (84.10), зависящие от вследствие условий (84.4), являются линейно независимыми интегралами уравнения (84.8).

Дифференцируя формулу (83.7) по и принимая во внимание (84.4), приходим к заключению, что формула (83.7) дает интеграл уравнения (84.1), обращающийся в точке в нуль вместе со своими производными до порядка включительно, если возмущение не содержит импульсных функций. Однако формулой (83.7) можно выразить также интеграл уравнения (84.1), удовлетворяющий любым начальным условиям. Для этого достаточно включить в возмущение соответствующие импульсные функции. Так, например

заменяя в формуле (83.7) возмущение возмущением

приведем ее к виду:

Так как функции любом фиксированном значении представляют собой линейно независимые интегралы однородного уравнения (84.3), то формула (84.16) дает общий интеграл уравнения (84.1). Следовательно, постоянные в формулах (84.15) и (84.16) всегда можно выбрать так, чтобы удовлетворить произвольно заданным начальным условиям.

Рассмотрим теперь физически возможную систему, поведение которой описывается линейным дифференциальным уравнением

где — линейные дифференциальные операторы:

Весовая функция этой системы представляет собой интеграл уравнения

удовлетворяющий условию (83.6). Если то импульсная функция в правой части уравнения (84.19) может быть заменена соответствующими начальными условиями. Для того чтобы найти эти начальные условия, достаточно заметить, что наличие в правой части уравнения -функции и ее производных порядка включительно соответствует разрывному изменению в точке производных интеграла уравнения (84.19), начиная с Выражая коэффициенты при -функции и ее производных в левой части уравнения (84.19) через начальные значения производных весовой функции

и сравнивая их с соответствующими коэффициентами в правой части уравнения (84.19), получим уравнения, определяющие В результате весовая функция определится как интеграл однородного уравнения (84.3), удовлетворяющий найденным таким способом начальным условиям. Если то весовая функция содержит линейную комбинацию -функциц и ее производных до порядка включительно. В этом случае функцию можно представить как сумму интеграла однородного уравнения (84.3), удовлетворяющего соответствующим начальным условиям в точке и линейной комбинации -функции и ее производных до порядка включительно. Для определения этих начальных условий и коэффициентов при -функциях можно применить изложенный метод, выразив коэффициенты при -функциях в левой части уравнения (84.19) через разрывы функции ее производных и интегралов до порядка включительно.

Рис. 46.

Изложенный метод дает весовую функцию в зависимости от первого аргумента при фиксированном значении второго аргумента. Для определения в зависимости от второго аргумента при фиксированном значении первого аргумента заметим, что систему, описываемую уравнением (84.17), можно рассматривать как последовательное соединение системы, характеризуемой линейным дифференциальным оператором и системы, поведение которой описывается уравнением (84.1) (рис. 46). Следовательно, для определения весовой функции можно применить формулу (83.9). Тогда получим:

или, вследствие формул (9.12) и (83.24),

где линейный дифференциальный оператор, сопряженный с Определив весовую функцию интегрированием уравнения (84.7) или интегрированием уравнения (84.8) при условиях (84.9), мы найдем как функцию второго аргумента при фиксированном значении первого аргумента по формуле (84.21).

- Совершенно так же определяется весовая функция системы, обратной по отношению к описываемой уравнением (84.17).

Очевидно, что обратная система описывается тем же дифференциальным уравнением (84.17), в котором у представляет собой входное возмущение, выходную переменную обратной системы. Следовательно, для определения весовой функции обратной системы достаточно заменить в уравнениях (84.8) и (84.19) и в формуле на и наоборот.

Докажем, что для любых функций имеющих производные до порядка, справедлива формула

где линейный дифференциальный оператор, определяемый формулой (83.5). Предположим сначала, что функции и их производные до порядка включительно непрерывны в интервале интегрирования. Для доказательства применим метод индукции. Полагая

замечаем, что формула (84.22) справедлива при так как

Предположим теперь, что формула (84.22) справедлива при и докажем, что она справедлива и при На основании (84.23) имеем:

или

Первый член в квадратных скобках равенства (84.26) добавляет к сумме в правой части равенства (84.22) при член, соответствующий а каждый член суммы в квадратных скобках равенства (84.26) добавляет к соответствующей внутренней сумме правой части равенства (84.22) при член,

соответствующий Следовательно, из справедливости формулы (84.22) для вытекает ее справедливость при Но выше было доказано, что формула (84.22) справедлива при Следовательно, она справедлива при любом .

Формула (84.22) может быть представлена также в виде:

Докажем теперь, что формула (84.27) справедлива и в том случае, когда функции и их производные имеют разрывы первого рода в интервале интегрирования. Предположим сначала, что производная функции порядка имеет разрыв в точке а, а сама функция и все ее производные остальных порядков непрерывны в точке а. Тогда можем написать:

где функция, непрерывная вместе со своими производными, совпадающая с функцией при Интегрируя формулу (84.28), находим:

где для краткости положено

Дифференцируя формулу (84.29), предварительно умноженную на учетом равенств (84.30), получим:

Докажем, что при любом имеет место равенство

Предполагая, что равенство (84.33) справедливо при некотором находим:

Полагая в первой сумме во второй сумме и в последней сумме и принимая во внимание, что получим:

Эта формула отличается от (84.33) только обозначением индексов и тем, что вместо в ней фигурирует Таким образом, формула (84.33) справедлива при всех если она справедлива хотя бы при одном значении Но она справедлива при так как формула (84.32) представляет собой частный случай формулы (84.33), соответствующий Следовательно, формула (84.33) доказана при всех 1-1.

Полагая в формуле принимая во внимание, что первая сумма равна нулю при подставляя полученное выражение в (83.24), получим:

или, изменяя порядок суммирования и полагая после этого

Если все производные функции и, начиная с имеют разрыв первого рода в точке а, то разрыв каждой производной даст соответствующую линейную комбинацию -функций такого же вида, как в формуле (84.37), и мы будем иметь:

или после изменения порядка суммирования

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что формулы (84.37) и (84.39) справедливы при а, если представляет собой функцию, совпадающую с при и непрерывную вместе со своими производными в точке а. Для доказательства достаточно изменить направление отсчета при помощи замены переменных написать для этого случая формулу (84.33) и перейти в ней снова к переменной После этого, подставляя полученное выражение в (83.24), получим формулу (84.36).

Предположим теперь, что функция а непрерывна вместе со своими производными до порядка включительно в интервале а функция и ее производные имеют разрывы первого рода в точке и непрерывны в остальных точках интервала Тогда, разбивая интервал интегрирования в (84.27) на три части: применяя для вычисления интегралов, распространенных на интервалы формулу (84.27), а для вычисления интеграла в пределах формулы (84.39) и (9.12) и переходя к пределу при убедимся в том, что в этом случае справедлива формула (84.27). Аналогично убедимся в том, что формула (84.27) справедлива в том случае, когда функция непрерывна вместе со своими производными до порядка включительно, а функция и ее производные имеют разрыв первого рода в некоторой точке внутри интервала интегрирования. Следовательно, формула (84.27) справедлива и в том случае, когда функции и их производные имеют любое число точек разрыва первого рода внутри интервала интегрирования при условии, что точки разрыва функции и и ее производных не совпадают с точками разрыва функции и и ее производных.

Формулой (84.39) можно пользоваться (конечно, с соответствующим изменением обозначений) для вычисления коэффициентов при

-функциях в выражении весовой функции определяемой формулой (84.21), в случае, когда

Пример 1. Найти весовую функцию линейнол системы, поведение которой описывается уравнением

Уравнение (84.3) и начальные услозия (84.4) имеют в данном случае вид:

Интегрируя это уравнение, находим весовую функцию рассматриваемой системы:

Применим теперь для определения весовой функции рассматриваемой системы уравнение (84.8) и начальные условия (84.9), которые в данном случае имеют вид:

Интегрирование этого уравнения снова дает формулу (84.42) для весовой функции рассматриваемой системы.

Весовая функция обратной системы определяется в данном случае формулой

Формула (84.42) в частном случае, когда дает весовую функцию простого инерционного звена первого порядка с постоянной времени и коэффициентом усиления

Пример 2. Найти весовую функцию линейной системы, поведение которой описывается уравнением

где некоторые постоянные, Найти также весовую функцию обратной системы.

Находим сначала весовую функцию упрощенной системы, которая получится, если в уравнении (84.46) заменить правую часть возмущением х. Уравнение (84.3) и начальные условия (84.4) в данном случае имеют вид:

Интегрируя уравнение (84.47) при начальных условиях (84.48) и полагая получим:

или, в действительной форме,

Для определения весовой функции рассматриваемой системы применим формулу (84.21). Тогда получим:

где

Для определения весовой функции обратной системы заметим, что согласно сделанному выше замечанию поведение обратной системы описывается тем же уравнением (84.46), в котором у представляет собой входное возмущение, выходную переменную. Следовательно, для определения весовой функции обратной системы можно применить тот же метод. Сначала находим весовую функцию упрощенной системы, которая получится, если в уравнении (84.46) заменить левую часть возмущением у. Так как полученное таким образом уравнение является частным случаем уравнения (84.40), когда то весовая функция определяется формулой (84.42), которая дает:

После этого искомая весовая функция обратной системы определится по формуле (84.21):

Находим входящие сюда производные весовой функции

Подставляя эти выражения в (84.53), получим: