§ 101. Непосредственная линеаризация уравнений Нелинейных систем

Рассмотрим более подробно применение метода непосредственной линеаризации уравнений к приближенному исследованию точности системы, поведение которой описывается произвольной системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Так как всякая система дифференциальных уравнений может быть приведена к системе уравнений первого порядка, имеющей нормальную форму, то достаточно рассмотреть случай, когда система дифференциальных уравнений, описывающая поведение динамической системы, имеет вид:

где выходные переменные системы, входные случайные возмущения. Эти возмущения могут быть случайными функциями как времени так и значений случайных функций в данный момент времени Однако в этом случае непосредственная линеаризация уравнений (101.1) затруднена (хотя все же возможна). Поэтому мы будем предполагать в этом параграфе, что являются случайными функциями одной независимой переменной

Для того чтобы линеаризовать уравнения (101.1), разложим их правые части в ряд Тейлора относительно центрированных случайных функций Тогда получим:

где для краткости опущены аргументы функции

в обозначении производных этой функции по и Подставляя выражение (101.3) в уравнения (101.1), получим систему

приближенных дифференциальных уравнений, линейных относительно центрированных случайных функций и X

Для того чтобы приближенно определить математические ожидания случайных функций следует, согласно общей теории § 90, заменить в уравнениях (101.4) все случайные функции их математическими ожиданиями. Тогда получим:

Эта система дифференциальных уравнений приближенно определяет математические ожидания случайных функций Вычитая уравнения (101.5) почленно из соответствующих уравнений (101.4), получим систему приближенных линейных дифференциальных уравнений, связывающую центрированные случайные функции

После того как уравнения (101.5), определяющие математические ожидания случайных функций проинтегрированы, величины а следовательно и функции и их частные производные, входящие в уравнения (101.6), будут известными функциями независимой переменной Следовательно, полагая

можно переписать уравнения (101.6) в виде:

Эта система уравнений является, очевидно, частным случаем общей линейной системы уравнений (90.20). Поэтому для приближенного определения корреляционных функций и взаимных корреляционных функций случайных функций можно применить методы, изложенные

в § 90. Справедливым остается и все сказанное в § 90 относительно начальных условий. Таким образом, линеаризуя уравнения (101.1) относительно центрированных случайных функций, мы получим в результате систему нелинейных дифференциальных уравнений (101.5), приближенно определяющую математическое ожидание интеграла системы дифференциальных уравнений (101.1), и систему линейных дифференциальных уравнений (101.9), приближенно определяющую отклонения случайных функций от их математических ожиданий. После интегрирования уравнений (101.5) коэффициенты линейных уравнений (101.9) определяются как функции времени по формулам (101.7) и (101.8). Применяя к уравнениям (101.9) общие методы, изложенные в предыдущей главе, приближенно определим корреляционную функцию векторной случайной функции К, т. е. все корреляционные и взаимные корреляционные функции ее составляющих

Предоставляем читателю самостоятельно применить изложенный метод к системе, поведение которой описывается более общей системой нелинейных дифференциальных уравнений:

Изложенный способ дает возможность определить математические ожидания и корреляционные функции случайных функций с необходимой степенью точности в том случае, когда отброшенные при линеаризации члены разложений (101.3) достаточно малы. Для того чтобы произвести проверку соблюдения этого условия, следует определить изложенным способом корреляционные функции и дисперсии случайных функций оценить максимальные практически возможные значения центрированных случайных функций (например, считая закон распределения близким к нормальному, принять в качестве максимальных практически возможных значений утроенные средние квадратические отклонения случайных функций и оценить погрешность равенств (101.3) для этих максимальных значений.

Пример. Поведение нелинейной системы описывается дифференциальным уравнением

где -действительная стационарная случайная функция времени, математическое ожидание которой равно нулю. В начальный момент выходная переменная системы равна единице. Найти математическое ожидание и дисперсию выходной переменной

Заменяя в уравнении (101.11) случайные функции их математическими ожиданиями, получим на основании изложенного дифференциальное уравнение, приближенно определяющее математическое ожидание выходной переменной

Ограничиваясь в разложении правой части уравнения (101.11) в ряд Тейлора в окрестности точки членами первой степени и вычитая из полученного уравнения равенство (101.12), получим приближенное уравнение, связывающее центрированные случайные функции

Интеграл уравнения (101.12), обращающийся в единицу при тождественно равен единице. Следовательно, Подставляя это значение в уравнение (101.13) и интегрируя его, получим:

Пользуясь для вычисления дисперсии выходной переменной формулой (90.4), получим после элементарных преобразований:

Если, в частности, корреляционная функция случайной функции X определяется формулой (49.36), то, выполняя интегрирование в (101.15), получим: