§ 22. Двумерный нормальный закон распределения

Для двумерного нормально распределенного случайного вектора плотность вероятности выражается в общем случае формулой

Линии постоянных плотностей вероятности или линии равных уровней [выражаясь топографическим языком, - горизонтали поверхности, соответствующей уравнению (22.1)] определяются уравнением

где произвольный параметр. Очевидно, что эти линии представляют собой концентрические подобные эллипсы с центром в точке так как дискриминант кривых второго порядка (22.2), стоящий под корнем квадратным в формуле (22.1), должен быть положительным. Семейство эллипсов (22.2) обычно называется эллипсом рассеивания.

Найдем одномерную плотность вероятности случайной величины Подставляя выражение (22.1) в формулу (15.8), будем иметь:

Применяя формулу (9.19), получим:

Аналогичную формулу получим для плотности вероятности случайной величины У. Сравнивая формулу (22.4) с (11.6), приходим к выводу, что каждая составляющая нормально распределенного случайного вектора также распределена нормально. При этом математические ожидания составляющих равны соответственно а их дисперсии выражаются формулами:

Подставляя выражения (22.1) и (22.4) в формулу (16.6), найдем условную плотность вероятности случайной величины У относительно X:

Сравнивая эту формулу с (11.6), видим, что при данном фиксированном значении х случайной величины X случайная величина У распределена нормально, причем ее условное математическое ожидание и условная дисперсия выражаются формулами:

Мы видим, что условное математическое ожидание случайной величины У зависит от значения х случайной величины X, а условная дисперсия не зависит от х.

Легко видеть, что условный закон распределения случайной величины У совпадает с безусловным тогда и только тогда, когда Но, для того чтобы было равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы оси координат на плоскости были сопряженными относительно эллипсов (22.2) направлениями. Таким образом, для того чтобы координаты нормально распределенной случайной точки на

плоскости были независимыми случайными величинами, необходимо и достаточно, чтобы оси координат были сопряженными относительно эллипса рассеивания направлениями.

Вычислим корреляционный момент случайных величин Подставляя выражение (22.1) в формулу (17.6), находим:

Применяя для вычисления интегралов по формулы, полученные в результате последовательного дифференцирования по параметру формулы (9.19), получим:

Формулы (22.5) и (22.9) определяют элементы корреляционной матрицы нормально распределенного двумерного случайного вектора через параметры На основании этих формул можно написать:

Формулы (22.5), (22.9) и (22.10) дают выражение параметров через элементы корреляционной матрицы случайного вектора:

Подставляя выражения (22.11) в (22.1) и принимая во внимание, что получим для плотности вероятности двумерного нормально распределенного случайного вектора формулу

Эту формулу можно также написать в виде:

Из формул (22.9) и (22.11) видно, что тогда и только тогда, когда когда случайные величины независимы. Таким образом, нормально распределенные случайные величины не коррелированы только в том случае, когда они независимы.

Формула (22.4) показывает, что составляющие нормально распределенного случайного вектора также распределены нормально. Однако обратное заключение несправедливо. Если каждая из составляющих случайного вектора распределена нормально, то случайный вектор может иметь распределение, отличное от нормального. Так, например, если плотность вероятности случайного вектора определяется формулой

где любая нечетная относительно каждой из переменных функция, не превосходящая по абсолютной величине первое слагаемое в (22.14), то обе составляющие этого случайного вектора распределены нормально.