ГЛАВА 3. ВЕКТОРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

§ 14. Функция распределения случайного вектора

При совместном изучении двух или трех случайных величин их можно рассматривать как коррдинаты случайной точки на плоскости или в трехмерном пространстве независимо от их конкретной природы. Можно также трактовать две или три случайные величины как составляющие случайного вектора на плоскости или в трехмерном пространстве. Такая трактовка совокупности двух или трех случайных величин дает возможность пользоваться наглядными геометрическими представлениями. Точно так же случайных величин можно формально рассматривать как координаты случайной точки в -мерном пространстве или как составляющие -мерного случайного вектора, не связывая, однако, эти понятия с конкретными геометрическими представлениями.

Функцией распределения двумерного случайного вектора с составляющими или совместной функцией распредгления случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств рассматриваемая как функция переменных

Функция распределения двумерного случайного вектора представляет собой вероятность попадания конца этого вектора в четверть плоскости, заштрихованную на рис. 9.

Совершенно так же, как в § 7 была выведена формула (7.5) для вероятности попадания значения случайной величины на данный отрезок числовой оси, можно вывести формулу для вероятности попадания случайной точки на плоскости в бесконечную полуполосу, изображенную на рис. 10:

Обозначая для краткости разность значений любой функции в точках через можем написать формулу (14.2) в виде:

Аналогичный вид имеет формула для вероятности попадания случайной точки в бесконечную полуполосу, параллельную оси х.

Рис. 9.

Рис. 10.

Полагая в формуле и вычитая первую формулу почленно из второй, найдем вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, ограниченный прямыми параллельными осям координат (рис. 11):

или в развернутом виде

Рис. 11.

Переходя в формуле (14.2) к пределу при получим:

Аналогичную формулу получим для вероятности совместного выполнения неравенства и равенства

Переходя в формуле (14.5) к пределу при , найдем вероятность попадания случайной точки в данную точку плоскости:

Эта формула показывает, что вероятность попадания в данную точку равна нулю, если совместная функция распределения случайных величин непрерывна в точке относительно одной из переменных х, у.

Из формулы (14.2) следует, что функция распределения двумерного случайного вектора является неубывающей функцией каждой переменной при любом фиксированном значении другой переменной. Далее, так же, как были доказаны равенства (7.8), доказываются следующие свойства функции распределения

Эти равенства ясны также непосредственно из геометрической интерпретации функции распределения двумерного вектора как вероятности попадания в четверть плоскости, изображенную на рис. 9.

Данное определение и изученные свойства функции распределения легко обобщаются на -мерные векторы. Функцией распределения -мерного случайного вектора или совместной функцией распределения случайных величин называется функция переменных представляющая собой вероятность совместного выполнения неравенств

Эта функция является неубывающей функцией каждой переменной при фиксированных значениях других переменных. Если хотя бы одна из составляющих вектора х стремится к то стремится к нулю. Если некоторые из переменных стремятся к то стремится к функции распределения случайных величин, соответствующих остальным переменным. Например, обозначая через функцию

распределения -мерного случайного вектора с составляющими получим:

Если все переменные стремятся к то стремится к единице:

Наконец, совершенно так же, как были выведены формулы (14.3) и (14.4), выводится формула для вероятностей попадания случайной точки с координатами в прямоугольные области:

Функции распределения являются достаточно общей характеристикой случайных векторов. Любой случайный вектор имеет функцию распределения.

Случайные векторы можно также характеризовать вероятностной мерой, которая определяется так же, как для скалярных величин. А именно, вероятностной мерой случайного вектора X называется такая функция множества которая для каждого множества А возможных значений этого вектора равна вероятности появления какого-нибудь из значений, принадлежащих множеству А. Это определение выражается формулой (7.10), в которой следует понимать как случайный вектор, как любое множество, элементами которого являются возможные значения вектора х.

Приведенное определение вероятностной меры применимо не только к скалярным и векторным случайным величинам, но и вообще к любым случайным объектам (в частности, к случайным функциям). При этом в приведенном определении и в формуле (7.10) X следует понимать как соответствующий случайный объект, как любое множество, элементами которого являются возможные значения этого объекта. Таким образом, вероятностную меру можно считать наиболее общей и наиболее полной характеристикой случайных объектов.

Понятие вероятностной меры было введено А. Н. Колмогоровым, который впервые дал строгое математическое обоснование основных понятий теории вероятностей с точки зрения современной теории меры [27].