§ 115. Определение математического ожидания случайной функции сглаживанием ее реализаций

Возможность определять математическое ожидание и корреляционную функцию стационарной случайной функции по одной ее записи позволяет весьма существенно сократить объем экспериментов по исследованию случайных функций. Поэтому естественно возникает мысль, нельзя ли обобщить изложенный в предыдущем параграфе метод на некоторые виды нестационарных случайных функций. Такое обобщение было предложено автором, в 1949 г. Несколько позже Е. В. Болотов впервые дал математическую формулировку условий, которым должна удовлетворять исследуемая случайная функция для того, чтобы предложенный автором прием обработки экспериментальных записей случайных функций был применимым. Мы дадим здесь формулировку условий более общих, чем условия Е. В. Болотова [49].

Чтобы найти способ обобщения изложенного в предыдущем параграфе метода определения математического ожидания случайной функции по одной экспериментальной записи, заметим, что определение математического ожидания по формуле (114.1) как средней ординаты полученной в результате опыта кривой реализации случайной функции представляет собой по существу сглаживание этой кривой (рис. 67). При этом сглаживание производится при помощи прямой, параллельной оси абсцисс, что является естественным следствием стационарности исследуемой случайной функции. Естественно попытаться распространить этот прием на нестационарные случайные функции, заменив при этом прямую, параллельную оси абсцисс, соответствующей сглаживающей кривой (рис. 68). Для того чтобы сделать более ясным, как нужно провести сглаживающую кривую, целесообразно выбрать масштаб аргумента достаточно малым, чтобы полученная экспериментально запись случайной функции

образовывала достаточно отчетливую полосу, характеризующую разброс значений случайной функции, как это показано на рис. 68.

Так как корреляционная функция представляет собой тоже некоторое математическое ожидание, то изложенный прием сглаживания можно применить и для определения корреляционной функции.

Рис. 67.

Для этого следует по экспериментальной кривой случайной функции построить кривые функций

для различных значений Сгладив эти кривые, получим оценку значений корреляционной функции

Рис. 68.

Чтобы найти условия, при которых изложенный метод сглаживания экспериментальных реализаций случайных функций может дать достаточную для практики точность, необходимо дать математическое выражение сглаживающей кривой. Вообще говоря, операция сглаживания кривой может быть выполнена многими способами.

Простейшим из них является осреднение ординат кривой на некотором интервале около данного значения определение так называемой скользящей средней. Этот способ дает следующую оценку математического ожидания случайной функции X:

Чтобы выяснить, как следует выбирать интервал и каким условиям должна удовлетворять исследуемая случайная функция, рассмотрим случайную функцию

Очевидно, что для того чтобы оценка математического ожидания, определяемая формулой (115.2), была близкой к математическому ожиданию необходимо, чтобы математическое ожидание квадрата случайной функции было достаточно малым. Найдем условия, при которых эта величина мала. Для этого представим формулу (115.3) в виде:

Отсюда находим:

Для того чтобы второе слагаемое в правой части этой формулы было малым, достаточно, чтобы математическое ожидание было приблизительно линейной функцией в интервале Действительно, если

то

Для оценки влияния отклонения математического ожидания случайной функции X от линейной функции воспользуемся формулой Тейлора:

где Тогда, принимая во внимание (115.7), получим:

Обозначая через А максимальное значение абсолютной величины второй производной получаем оценку

Но величина

представляет собой, очев дно, максимальное возможное отклонение математического ожидания от линейной функции (115.6) в интервале Поэтому оценка интеграла (115.9) может быть выражена через максимальное возможное отклонение математического ожидания от линейной функции (115.6):

Рис. 69.

Первое слагаемое правой части формулы (115.5) представляет собой дисперсию случайной функции

Формулы (115.5) и (115.12) показывают, что математическое ожидание квадрата случайной функции будет малым в том и только в том случае, когда математическое ожидание случайной функции X достаточно близко к линейной функции в любом интервале длины а среднее значение корреляционной функции в квадрате с центром в точке и стороной (рис. 69) достаточно мало. Таким образом, наиболее общими условиями применимости изложенного метода сглаживания экспериментальной

кривой для определения математического ожидания случайной функции являются приблизительная линейность математического ожидания в интервале длины с центром в точке и малость среднего значения корреляционной функции в квадрате с центром в точке и стороной

Чтобы среднее значение корреляционной функции в квадрате с центром в точке и стороной было малым, достаточно, чтобы существовало такое число чтобы при корреляционная функция была достаточно мала по абсолютной величине:

В этом случае для грубой оценки дисперсии случайной функции можно воспользоваться формулой (55.17), которая в данном случае дает:

где максимальное значение дисперсии случайной функции Отсюда видно, что для малости среднего значения корреляционной функции в квадрате достаточно, чтобы величины были малыми. Практически это означает, что значения исследуемой случайной функции должны становиться практически некоррелированными уже при разности значений аргументов значительно меньшей, чем интервал приблизительной линейности ее математического ожидания. Из неравенств (115.12) и (115.14) и формулы (115.5) вытекает следующая оценка математического ожидания квадрата случайной функции

Этим неравенством можно пользоваться для оценки точности определения математического ожидания случайной функции методом сглаживания экспериментальной записи ее реализации, так как положительный квадратный корень из величины является средней квадратической ошибкой определения математического ожидания.

Для того чтобы изложенный метод сглаживания был применимым для определения корреляционной функции, необходимо, чтобы найденным условиям удовлетворяла случайная функция

т. е. чтобы интервал приблизительной линейности корреляционной функции рассматриваемой как функция при данном значении был таким, чтобы среднее значение корреляционной

функции случайной функции в квадрате с центром в точке и стороной 2Т было достаточно малым. Чтобы оценить точность определения корреляционной функции случайной функции X методом сглаживания, предположим, что случайная функция X распределена нормально. Тогда начальный момент второго порядка случайной функции который представляет собой центральный момент четвертого порядка случайной функции X, может быть выражен через корреляционную функцию случайной функции X при помощи формулы (29.8). В результате получим:

Пользуясь формулой (50.7) и принимая во внимание, что математическое ожидание случайной функции равно найдем корреляционную функцию случайной функции

Так как если из неравенства (115.13) и формулы (115.18) вытекает неравенство

Кроме того, дисперсия случайной функции очевидно, не превосходит Следовательно, для оценки математического ожидания квадрата случайной функции

характеризующего точность определения корреляционной функции методом сглаживания, следует в неравенстве (115.15) заменить величины соответственно величинами Тогда получим:

где максимальное отклонение функции от линейной функции переменной в интервале изменения имеющем длину Неравенством (115.21) можно пользоваться для оценки точности определения корреляционной функции случайной функции путем сглаживания соответствующих кривых, так как положительный квадратный корень из величины представляет собой

приближенно среднюю квадратическую ошибку определения корреляционной функции этим методом.

Заметим, что для оценки точности определения корреляционной функции методом сглаживания, строго говоря, следовало бы рассматривать не случайную функцию определяемую формулой (115.16), а случайную функцию

Однако это сильно усложняет оценку точности определения корреляционной функции. Поэтому практически можно пользоваться неравенством (115.21), если только средняя квадратическая ошибка определения математического ожидания методом сглаживания, оцениваемая неравенством (115.15), достаточно мала.

Сглаживание экспериментальных кривых случайных функций может выполняться графически на глаз, путем проведения средней линии полосы, заполненной соответствующей кривой. Это значительно сокращает объем вычислительных работ при определении характеристик случайных функций из опыта.

Изложенный метод можно применить и для определения взаимных корреляционных функций случайных функций одного и того же аргумента. Для определения взаимной корреляционной функции случайных функций и следует выполнить сглаживание реализации случайной функции всех возможных положительных и отрицательных значений

Изложенные методы определения вероятностных характеристик случайных функций обладают рядом недостатков. Так, метод сглаживания одной полученной экспериментально реализации случайной функции применим, как мы видели, только в том случае, когда наименьший интервал монотонности изменения соответствующей вероятностной характеристики значительно превосходит максимум абсолютной величины разности аргументов соответствующей корреляционной функции, при которой эта корреляционная функция заметно отлична от нуля. С другой стороны, формальное применение формул §§ 111 и 112 для определения математических ожиданий и корреляционных функций случайных функций по реализациям случайных функций, полученным в результате нескольких независимых, произведенных в одинаковых условиях опытов, нерационально, так как при этом информация о вероятностных характеристиках случайных функций, содержащаяся в полученных реализациях, используется далеко не полностью. Действительно, применяя формулу (111.1) для оценки значения математического ожидания случайной функции при данном значении аргумента, мы используем для

этой оценки только значения реализаций случайной функции при этом значении аргумента и никак не используем значения реализаций при соседних значениях аргумента. Между тем, так как встречающиеся в приложениях случайные функции практически всегда бывают непрерывными, вследствие чего и их вероятностные характеристики являются непрерывными функциями (см. § 51), то для определения значения математического ожидания случайной функции при данном значении аргумента всегда могут быть использованы и значения реализаций случайной функции при других значениях аргумента. Наглядной иллюстрацией этого факта является возможность определения математического ожидания случайной функции в некоторых случаях по одной ее реализации. В связи с этим возникает задача разработки таких специальных методов обработки полученных экспериментально нескольких реализаций случайных функций, которые позволили бы максимально использовать содержащуюся в этих реализациях информацию о вероятностных характеристиках случайныхфункций.

Одним из возможных способов определения математического ожидания случайной функции по нескольким полученным экспериментально ее реализациям является одновременное сглаживание всех реализаций. Для применения этого способа следует построить все реализации случайной функции на одном графике, выбрав масштабы гак, чтобы эта реализации образовывали отчетливую полосу (рис. 70).

Рис. 70.

Тогда, проведя на глаз среднюю линию этой полосы, мы получим кривую, которую можно принять за оценку математического ожидания случайной функции. Применяя этот способ к случайным функциям можно определить корреляционную функцию случайной функции X и взаимную корреляционную функцию случайных функций

Способ глазомерного сглаживания полученных экспериментально реализаций случайной функции обладает большой простотой. Однако недостатком этого способа является его субъективность. Для того чтобы избежать этого недостатка, можно воспользоваться каким-либо аналитическим методом сглаживания функций, например сгладить каждую из полученных реализаций методом скользящей средней, и взять среднее арифметическое полученных таким образом результатов. Тогда получим следующие формулы для оценки математического ожидания и корреляционной функции случайной функции X и взаимной корреляционной функции случайных функций

Практически для вычисления интегралов в формулах (115.23), (115.24) и (115.25) их заменяют суммами. Разбив интервал на равных частей, а интервал на равных частей и применяя для вычисления интегралов формулу прямоугольников, получим формулы

Интервалы осреднения в этих формулах, так же как и в формуле (115.2), следует выбирать так, чтобы соответствующие

вероятностные характеристики были приблизительно линейными функциями в пределах этих интервалов.

Формулы (115.23) — (115.28) дают возможность определять значения вероятностных характеристик случайных функций при данных значениях аргументов с учетом значений полученных экспериментально реализаций этих случайных функций и при других значениях аргументов. Однако эти формулы не решают вопрос о наиболее полном использовании информации о вероятностных характеристиках случайных функций, содержащейся в полученных в результате опытов реализациях случайных функций. Для решения этого вопроса следует принять для оценки математического ожидания случайной функции X общую формулу

и определить функции веса из условия максимального использования информации о математическом ожидании случайной функции X, содержащейся в полученных в результате опытов ее реализациях, т. е. из условия наилучшего в известном смысле приближения оценки (115.29) к искомому математическому ожиданию Аналогичными формулами выражаются общие оценки корреляционных и взаимных корреляционных функций. Задача нахождения оптимальных оценок вида (115.29) представляет собой частный случай более общих задач, которые будут рассмотрены в следующих параграфах и в последних главах книги. Определение оптимальных функций веса сложно с вычислительной точки зрения и, кроме того, требует знания корреляционной функции, которая не может быть известна, пока не произведена обработка полученных в результате опыта реализаций случайной функции. Поэтому для практики весьма важен вопрос, насколько простая оценка (115.26) математического ожидания хуже оптимальной. Кроме того, вследствие того, что вычисления по формуле (115.26) тем проще, чем меньше число слагаемых, возникает вопрос о рациональном выборе интервала между соседними значениями аргумента с таким расчетом, чтобы оценка (115.26) не могла быть существенно улучшена уменьшением этого интервала. Аналогичные вопросы возникают по отношению к оценкам корреляционных функций. Вопрос о рациональном выборе интервала для оценки математического ожидания впервые рассматривался Е. В. Золотовым в 1949 г. Наиболее полное исследование перечисленных вопросов произведено К. А. Павловым, в работе которого [40] дано развитие методов статистики случайных функций, разработанных в [90]. В частности, К. А. Павлов показал, что

простые оценки типа (115.26), (115.27) и (115.28) часто оказываются достаточно близкими к оптимальным. Кроме того, исследования Е. В. Болотова и К. А. Павлова показали, что нет смысла брать интервал — при оценке математического ожидания по формуле (115.26) меньшим, чем то значение разности аргументов корреляционной функции, при котором нормированная корреляционная функция становится равной 0,25 и не превосходит этого значения при дальнейшем увеличении разности аргументов.

Для оценки точности определения математического ожидания и корреляционных функций по формулам (115.23) — (115.25) можно воспользоваться неравенствами (115.15) и (115.21) для дисперсий отдельных слагаемых в формулах (115.23) - (115.25), а для вычисления дисперсий средних арифметических воспользоваться второй формулой (111.3), имея в виду, что опыты, в результате которых получены обрабатываемые реализации случайных функций, должны быть независимыми. Тогда получим следующие неравенства для математических ожиданий квадратов ошибок оценок (115.23) и (115.24):

Вычисления, необходимые для определения характеристик случайных функций по полученным в результате опытов их реализациям, очень трудоемки и в то же время элементарны. Поэтому для определения характеристик случайных функций по результатам опытов целесообразно применять вычислительную технику. В настоящее время для определения корреляционных функций и спектральных плотностей стационарных случайных функций имеются различные типы специальных вычислительных машин, называемых обычно корреляторами (или коррелографами, или коррелометрами) испектральными анализаторами. Аналогичные машины можно создать и для обработки записей реализаций нестационарных случайных функций [8], Для определения характеристик случайных функций по результатам опытов можно также применять универсальные цифровые машины. Однако для этого необходимы дополнительные устройства, автоматически читающие записи реализаций случайных функций, преобразующие их в цифровой код и вводящие в цифровую машину. Универсальные цифровые машины обладают тем преимуществом перед корреляторами и спектральными анализаторами, что они допускают обработку реализаций случайных функций любыми методами, в том числе и методами, основанными на использовании нескольких реализаций.