§ 94. Исследование точности одномерных линейных систем, близких к стационарным

Большое практическое значение имеет случай, когда линейная система не является стационарной в течение всего времени ее работы, но поведение ее в течение любого сравнительно малого интервала времени близко к поведению стационарной линейной системы. Если на входе такой системы действует возмущение, близкое к

показательной функции времени, то выходная переменная этой системы после окончания переходного процесса будет также близкой к показательной функции времени. Линейные системы, обладающие этим свойством, мы будем называть близкими к стационарным или квазистационарными. Если случайное возмущение действующее на входе линейной системы, близкой к стационарной, может быть представлено интегральным каноническим представлением с координатными функциями, близкими к показательным функциям времени, то характеристики точности этой линейной системы могут быть выражены формулами, аналогичными по структуре формулам предыдущих двух параграфов.

Условимся называть функцию медленно изменяющейся функцией времени если относительное изменение мало на любом интервале длины где наименьшая частота собственных колебаний рассматриваемой линейной системы. В случае; если переходный процесс в рассматриваемой линейной системе при любых начальных условиях является апериодическим, то мы назовем функцию медленно изменяющейся функцией времени когда ее относительное изменение мало по сравнению с относительным изменением выходной переменной рассматриваемой линейной системы.

Предположим, что случайное возмущение на входе линейной системы, близкой к стационарной, представляет собой случайную функцию времени которая может быть выражена интегральным каноническим представлением типа (93.1) с координатными функциями

где действительные числа, медленно изменяющиеся функции времени В результате преобразования координатных функций рассматриваемой линейной системой, согласно определению линейных систем, близких к стационарным, получатся функции

где также будут медленно изменяющимися функциями времени На основании общих законов преобразования случайных функций линейными системами случайная функция на выходе рассматриваемой линейной системы может быть представлена интегральным каноническим представлением с координатными функциями Подставляя выражение (94.2) координатных функций в формулы (88.15) и (88.16), получим следующие

формулы для корреляционной функции и дисперсии выходной переменной У рассматриваемой линейной системы:

Большое значение для приложений имеет случай, когда входное возмущение является случайной функцией, приводимой к стационарным, типа (80.10). Мы видели в § 80, что случайные функции этого типа могут быть выражены интегральным каноническим представлением (80.14), координатные функции которого определяются формулой (80.15). Если функции в формуле (80.15) могут быть с достаточной точностью приближены линейными комбинациями действительных показательных функций с медленно изменяющимися коэффициентами, то координатные функции случайных функций типа (80.10) могут быть выражены формулой (94.1). При этом практически в большинстве случаев удается с достаточной точностью приблизить функции в формуле (80.15) линейными комбинациями действительных показательных функций с постоянными коэффициентами. Для этого, очевидно, достаточно, чтобы функции в формуле (80.10) могли быть приближены линейными комбинациями действительных показательных функций с постоянными коэффициентами. В этом случае формулы (94.1) и (94.2) принимают вид:

где характеристика реакции рассматриваемой линейной системы на возмущение, изменяющееся по показательному закону Подставляя выражение (94.6) координатных функций в формулы (88.15) и (88.16), получим следующие формулы для корреляционной функции и дисперсии выходной переменной У линейной системы:

Очевидно, что формулы (94.7) и (94.8), которые являются обобщением формул (93.4) и (93.5), справедливы для любых одномерных линейных систем, а не только для близких к стационарным. Однако для произвольных линейных систем определение функции как было отмечено в § 86, представляет сложную задачу, в то время как для систем, близких к стационарным, можно сравнительно просто приближенно найти функцию

В частности, если случайная функция стационарна, то и формулы (94.7) и (94.8) принимают вид:

где частотная характеристика рассматриваемой линейной системы. Формула (94.10) является очевидным обобщением формулы (92.4) для дисперсии выходной переменной стационарной линейной системы.

Задача определения функций в формуле (94.2) решается сравнительно просто только в том случае, когда поведение рассматриваемой линейной системы описывается линейным дифференциальным уравнением с медленно изменяющимися коэффициентами типа (90.12), которое в данном случае удобно записать в виде:

где полиномы относительно оператора дифференцирования

Дифференцируя функцию получаем формулы

и вообще при любом

Применяя эту формулу и принимая во внимание формулы (94.12), получим при любых функциях и постоянной X:

Следовательно, подставляя в уравнение вместо случайных функций получим после сокращения на

Это дифференциальное уравнение определяет функцию по данной функции Уравнение (94.16) является линейным дифференциальным уравнением того же порядка что и дифференциальное уравнение (94.11), связывающее случайные функции Поэтому интегрирование уравнения (94.16) в общем случае представляет собой задачу той же степени сложности, что и общая задача определения координатных функций случайной функции путем интегрирования уравнения (90.14). В случае, когда коэффициенты линейного дифференциального уравнения (94.11) и функция являются медленно изменяющимися функциями времени задача интегрирования уравнения (94.16) облегчается тем обстоятельством, что нам требуется найтч только медленно изменяющийся интеграл этого уравнения. Для определения этого интеграла можно применить метод последователььых приближений, пренебрегая в первом приближении производными медленно изменяющихся функций. Предварительно мы несколько преобразуем уравнение (94.16). Применяя формулу Тейлора, можем написать:

Подставляя эти выражения в уравнение (94.16), представим его в виде:

где штрихами обозначены производные по времени Пренебрегая в первом приближении производными медленно изменяющихся функций получим:

откуда находим первое приближение для функции

В частности, для определения в первом приближении характеристики реакции линейной системы, близкой к стационарной, на возмущение, изменяющееся по показательному закону достаточно в формуле (94.20) положить Тогда получим:

При эта формула определит в первом приближении частотную характеристику линейной системы, близкой к стационарной.

Во втором приближении заменим производные медленно изменяющейся функции производными первого приближения Тогда получим:

откуда находим второе приближение для функции

Где Подобным же образом определятся следующие приближения для функции

Для того чтобы изложенный метод мог быстро привести к достаточно точному определению функции необходимо, чтобы члены формулы (94.23), содержащие производные функций по были достаточно малыми по сравнению с первым

членом правой части формулы (94.23). Для этого, очевидно, функции должны быть достаточно медленно изменяющимися функциями В этом случае можно в формуле второго приближения (94.23) ограничиться первыми производными функций и принять:

где В частности, при формула (94.24) дает следующую приближенную формулу для характеристики реакции линейной системы, близкой к стационарной, на показательное возмущение

Формулы (94.20) и (94.21) показывают, что для определения функции и характеристики реакции линейной системы, близкой к стационарной, на показательное возмущение можно в первом приближении применить так называемый прием «замораживания» коэффициентов, т. е. решать уравнение (94.18) как уравнение с постоянными коэффициентами и постоянной величиной Второй член правой части формулы (94.24) дает поправку к функции определяемой путем «замораживания» коэффициентов. Этот член может также служить для оценки погрешности метода «замораживания» коэффициентов. Для того чтобы изложенный метод решения дифференциального уравнения (94.18) был вполне обоснованным, необходимо дать строгую оценку погрешности выведенных формул. Однако в общем случае такая оценка весьма затруднительна. Поэтому практически приходится ограничиваться проверкой сравнительной малости второго члена правой части формулы (94.24).

Формулы (94.20) и (94.24) могут быть выведены другим путем. Введем в уравнение (94.18) произвольный параметр а, заменив его более общим уравнением

Будем искать решение этого уравнения в виде степенного ряда относительно параметра а:

Подставляя ряд (94.27) в уравнение (94.26) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра а в левой и правой частях полученного уравнения, будем иметь:

откуда находим:

Ограничиваясь в ряде (94.27) одним первым членом, получим формулу первого приближения (94.20). Ограничиваясь в ряде (94.27) первыми двумя членами и полагая получим формулу втором приближения (94.24).

Ряд (94.27) в общем случае является асимптотическим разложением интеграла уравнения (94.26) в окрестности точки [43, 44, 45]. Поэтому точность формул, полученных из (94.27) путем отбрасывания членов ряда выше определенной степени относительно а, будет тем выше, чем быстрее убывают члены ряда (94.27). Это обстоятельство служит косвенным обоснованием оценки точности формул (94.20) и (94.24) по относительной величине второго члена правой части формулы (94.24).

В заключение заметим, что все формулы этого параграфа, так же как и формулы предыдущих двух параграфов, применимы только для установившегося режима работы системы, когда все переходные процессы можно считать законченными. Практически это означает, что формулы этого параграфа применимы только к асимптотически устойчивым системам и для значений достаточно удаленных от начального значения Если эти условия не соблюдены, то необходимо определить координатные функции в формулах (88.15) и (88.16) путем интегрирования дифференциальных уравнений (90.14) при нулевых начальных условиях.

Пример. Определить дисперсию выходной переменной нестационарного колебательного звена, поведение которого описывается дифференциальным уравнением

с медленно изменяющимися коэффициентами предполагая, что корреляционная функция случайной функции X определяется формулами (93.7) и (93.11) примера предыдущего параграфа.

В этом случае случайная функция X может быть выражена интегральным каноническим представлением, координатными функциями которого являются показательные функции. Заменяя, согласно изложенному методу, в уравнении (94.30) случайные функции соответственно функциями получим:

Пренебрегая в первом приближении производными медленно изменяющейся функции времени получим:

Во втором приближении учтем первую производную медленно изменяющейся функции времени приняв эту производную равной производной функции полученной в первом приближении:

Тогда получим для определения второго приближения функции уравнение

Отсюда находим функцию во втором приближении:

Принимая во внимание, что случайная функция X, согласно условию, выражается интегральным каноническим представлением (93.1) при координатные функции которого определяются формулой (93.12), и пользуясь формулами (94.8), (93.10) и (93.11), находим дисперсию случайной функции :

где определяется формулой (94.35) при

Формула (94.36), так же как и все формулы предыдущих двух параграфов, применима только к асимптотически устойчивому колебательному звёну и только для моментов времени, достаточно удаленных от начального момента, когда все переходные процессы можно считать законченными. Применяя прием «замораживания» коэффициентов уравнения (94.30) и в соответствии с этим принимая для функции формулу первого приближения (94.32), приведем формулу (94.36) к виду (93.15). Таким образом, применение формулы (93.15) к случаю переменных коэффициентов равноценно «замораживанию» этих коэффициентов. Формулы (94.35) и (94.36) дают возможность приближенно оценить погрешность, которая получается при применении формулы (93.15) к нестационарному колебательному звену.