§ 23. Многомерный нормальный закон распределения

Плотность вероятности -мерного нормально распределенного случайного вектора X выражается в общем случае формулой

где с — матрица коэффициентов определитель матрицы с (см, Дополнение, I). Полагая

можем написать:

Сумму произведений одноименных составляющих двух -мерных векторов по аналогии с соответствующим выражением для двумерных и трехмерных векторов обычно называют скалярным произведением векторов и обозначают символом Поэтому формула (23.3) может быть переписана в виде:

Но вектор согласно (23.2), есть результат линейного

преобразования вектора и, матрица которого равна С. Поэтому можно написать (см. Дополнение, I):

При помощи формул (23.4) и (23.5) выражение (23.1) плотности вероятности нормально распределенного многомерного случайного вектора можно коротко записать в векторно-матричной форме:

Найдем одномерную плотность вероятности составляющей случайного вектора Подставляя выражение (23.1) в формулу (15.17) при получим:

Для вычисления интеграла произведем замену переменных:

где пока неопределенные коэффициенты. Тогда, полагая еще получим:

Выберем теперь коэффициенты так, чтобы коэффициенты при произведениях переменных были равны нулю.

Принимая во внимание, что при получим уравнения

Очевидно, что матрицу С можно без ущерба для общности считать симметричной, т. е. полагать Тогда уравнения (23.10), отличающиеся друг от друга перестановкой индексов будут тождественными друг другу, и для определения коэффициентов

останутся только те уравнения (23.10), в которых Полагая в и учитывая, что получим:

Полагая в и учитывая, что получим:

или, принимая во внимание (23.11),

Совершенно так же, полагая в (23.10) последовательно учитывая, что и принимая во внимание (23.11) и (23.13), получим уравнения

Таким образом, уравнения (23.10) приводятся к линейным алгебраическим уравнениям (23.14). После определения коэффициентов из уравнений (23.14) коэффициенты при квадратах переменных в (23.9) определятся формулой:

Но на основании (23.14)

вследствие чего формула (23.15) принимает вид:

Покажем, как определяются коэффициенты у и величины из уравнений (23.14) и (23.17). Для этого рассмотрим сначала отдельно уравнения (23.14) и (23.17), соответствующие

Рассматривая эти уравнения как линейные алгебраические уравнения относительно решаем их и находим:

где алгебраическое дополнение, элемента в определителе Полагая в и принимая во внимание, что находим величину

после чего формула (23.19) дает:

Совершенно аналогично находятся Для этого следует последовательно рассмотреть уравнения (23.14) и (23.17), соответствующие Что же касается величины то на основании формулы (23.17) она равна

Заменой переменных (23.8) интеграл (23.7) на основании (23.9), (23.10), (23.15) и (9.20) приводится к виду:

Выражение определяет элементы матрицы где матрица преобразования (23.8), транспонированная матрица (см. Дополнение, I). Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей [Дополнение, формула ], то

Но определитель матрицы очевидно, равен единице. Поэтому

Таким образом, матрицы имеют одинаковые определители. Так как на основании (23.10) и (23.15) матрица В — диагональная:

то ее определитель равен произведению диагональных элементов:

Пользуясь формулами (23.8), (23.20), (23.24) и (23.26), приводим формулу (23.22) к виду:

Аналогичные формулы получим для плотностей вероятности других составляющих случайного вектора Сравнивая формулу (23.27) с (11.6), приходим к заключению, что составляющие нормально распределенного случайного вектора также распределены нормально, причем их математические ожидания и дисперсии определяются формулами:

Совершенно так же определяются плотности вероятности случайных векторов с меньшим чем числом составляющих, которые можно образовать из составляющих случайного вектора Все эти векторы оказываются нормально распределенными.

Для того чтобы найти условную плотность вероятности составляющей нормально распределенного случайного вектора, нам понадобится еще формула для плотности вероятности -мерного случайного вектора, образованного какими-нибудь составляющими случайного вектора Пользуясь формулами (15.17), (23.1), (23.2) и (9.19), находим:

или

Подставляя выражения (23.1) и (23.29) в (16.17) и пользуясь первой формулой (23.2), найдем условную плотность вероятности

составляющей относительно всех остальных составляющих случайного вектора X:

или

Отсюда видно, что условный закон распределения составляюшей является нормальным, причем ее условное математическое ожидание и условная дисперсия равны:

Для вычисления корреляционных моментов составляющих случайного вектора X подставим выражение (23.1) в формулу (18.1) и положим в ней Тогда на основании (18.5) получим:

После замены переменных по формулам (23.8) формула (23.34) примет вид:

Применяя для вычисления интегралов формулу (9.19) и формулу, полученную из (9.19) двукратным дифференцированием по параметру и принимая во внимание (23.24), (23.26), (23.20) и (23.21), получим:

Так как выражение (23.1) плотности вероятности симметрично относительно переменных то формулы для остальных корреляционных моментов составляющих случайного вектора X могут быть написаны по симметрии. В результате, объединяя формулы для корреляционных моментов с формулой (23.28) для дисперсий в одну формулу, получим общую формулу для элементов корреляционной матрицы нормально распределенного случайного вектора X:

Эта формула показывает, что так как корреляционная матрица действительного случайного вектора К и матрица симметричны, т. е. сто матрицы являются обратными по отношению друг к другу [см. Дополнение, формулы (1.22)]:

Из второй формулы (23.38) вытекает следующее выражение элементов матрицы С через элементы корреляционной матрицы К:

где алгебраическое дополнение элемента в определителе корреляционной матрицы Так как определители обратных матриц являются обратными величинами по отношению друг к другу и определитель матрицы равен то из (23.38) следует:

На основании формул (23.39) и (23.40) выражение (23.1) многомерной нормальной плотности вероятности может быть переписано в виде:

где

Вспоминая известную формулу для окаймленного определителя, можем представить формулу (23.41) еще в виде:

Наконец, пользуясь формулами (23.38) и (23.40), можно переписать формулу (23.6) в виде:

На основании (23.39) формулы (23.33) для условного математического ожидания и условной дисперсии составляющей нормально распределенного случайного вектора X относительно всех остальных его составляющих примут вид:

Для дальнейшего нам понадобится еще вычислить интеграл

где произвольные величины (действительные или комплексные). Полагая

получим:

Выберем теперь величины так, чтобы коэффициенты при первых степенях величин были равны нулю:

Решая эти уравнения относительно получим:

На основании (23.49) и (23.47) формула (23.48) принимает вид:

Подставляя это выражение в (23.46), получим:

Так как по условию могут быть комплексными, то и величины определяемые формулой (23.50), будут в общем случае комплексными и замена переменных (23.8) приведет к интегралам по комплексным переменным. Для того чтобы избежать интегрирования по комплексным переменным, мы видоизменим замену переменных (23.8), положив

где действительные переменные, а действительные числа. Тогда, выбирая числа так же, как и раньше, приведем формулу (23.52) к виду:

где имеют прежнее значение. Применяя для вычисления интегралов формулу (9.19), получим:

Далее, на основании (23.50) и (23.37)

Подставляя это выражение в (23.55), получим окончательно:

Так же, как и плотности вероятности скалярных случайных величин, плотности вероятности случайных векторов могут быть выражены через «эталонные» плотности вероятности разложением (13.3). При этом остаются справедливыми формулы (13.1) и (13.4), в которых х следует понимать как вектор, а интегралы — как кратные интегралы по соответствующему пространству. Подставляя в (13.4) соответствующие выражения полиномов можно выразить коэффициенты через коэффициенты полиномов и моменты случайного вектора.

Если за «эталонную» плотность вероятности принять плотность вероятности нормально распределенного случайного вектора, составляющие которого имеют математические ожидания и корреляционные моменты, равные нулю, и дисперсии, равные единице:

то полиномами будут все возможные произведения полиномов Эрмита от переменных . В этом случае ряд (13.3) будет представлять собой разложение плотности вероятности случайного вектора по произведениям производных функции определяемой формулой (11.8), аргументами которых являются переменные