§ 12. Закон распределения Пуассона

Большое практическое значение имеет следующая задача теории вероятностей: в некоторой области В случайно распределяются точки таким образом, что вероятность попадания любого данного числа точек в любую данную часть области В не зависит от числа точек, попадающих в другие части области В, и от их распределения в этих частях области требуется найти закон распределения числа точек, попадающих в данную часть области В, предполагая, что для любой части области В задано математическое ожидание числа попадающих в эту часть точек. Решение этой задачи приводит к закону распределения, который обычно называется законом Пуассона.

Обозначим через X математическое ожидание числа точек попадающих в часть области В:

через вероятность того, что в попадет точек:

а через вероятность того, что в попадет не меньше чем точек:

Тогда имеем очевидные равенства:

причем Разделим область на частей так, чтобы математическое ожидание числа точек, попадающих в каждую из этих частей, было равно Очевидно, что событие, заключающееся в отсутствии точек в представляет собой произведение событий, заключающихся в отсутствии точек в каждой из частей, на которые мы разделили По условию эти события независимы. Поэтому

откуда

где Равенство (12.6) показывает, что величина имеет конечный, отличный от нуля предел при (т. е. при ), так как вероятность не равна нулю или единице при

любом значении Переходя в равенстве (12.6) к пределу при при и полагая

получим:

откуда

Величина остается пока неопределенной.

Равенство (12.7) показывает, что вероятность является бесконечно малой того же порядка, что и Докажем, что вероятности являются бесконечно малыми высших порядков. Для этого, пользуясь принципом умножения вероятностей, напишем равенство

где условная вероятность того, что в область попадет не меньше двух точек, вычисленная в предположении, что в этой области уже имеется одна точка. На основании (12.4) вероятность не может быть больше вероятности следовательно, является бесконечно малой порядка не ниже Величина представляет собой вероятность того, что в данную часть области В, в которой имеется одна точка, попадет по крайней мере еще одна точка. Следовательно, на основании доказанного выше условная вероятность является бесконечно малой величиной порядка Вероятность как произведение двух бесконечно малых порядка не ниже каждая, будет бесконечно малой величиной порядка не ниже А так как на основании (12.4) вероятности образуют убывающую последовательность, то и все вероятности являются бесконечно малыми порядка не ниже и

Из (12.4), (12.7) и (12.11) следует, что

Расширим теперь область за счет присоединения к ней области с бесконечно малым математическим ожиданием числа попадающих точек. Если точек попадают в суммарную область то они могут распределиться между ее частями и одним из следующих способов: или все точек попадают в

или точек попадают в и одна точка попадает в или точек попадают в и две в или все точек попадают в Все эти возможные распределения точек между частями и области являются несовместными событиями. Поэтому, применяя принцип сложения вероятностей и учитывая независимость закона распределения числа точек, попадающих в от числа точек, попадающих в будем иметь:

или

Правая часть этого равенства на основании (12.12), (12.13) и вытекающего из (12.9) равенства

стремится к определенному пределу при Следовательно, вероятность при любом является дифференцируемой функцией X, и переход в (12.15) к пределу при дает следующие дифференциальные уравнения для последовательного определения вероятностей

Из (12.12) и (12.13) вытекают следующие начальные условия:

Интегрируя уравнение (12.17) при начальном условии (12.18), получаем формулу

Полагая здесь последовательно и принимая во внимание (12.9), получим следующую общую формулу:

Для определения неизвестной постоянной к вычислим математическое ожидание числа точек, попадающих в В пользуясь выражением (12.20)

вероятностей Тогда получим:

Сравнивая эту формулу с (12.1), видим, что следовательно, формула (12.20) принимает вид:

Эта формула определяет искомый закон распределения числа точек, попадающих в часть области В, для которой математическое ожидание числа попадающих точек равно X, называемый обычно законом Пуассона.

На основании формул (7.9) и (9.23) для функции распределения и плотности вероятности произвольной прерывной случайной величины функция распределения и плотность вероятности числа попадающих в данную часть области В точек выразятся формулами:

Предоставляем читателю самостоятельно доказать, что дисперсия числа попадающих в точек равна

Закон Пуассона имеет большое количество различных приложений. Так, например, рассмотренная задача может служить математической схемой задачи распределения вызовов на телефонной станции в течение суток. Общее число вызовов в течение суток является случайной величиной. Для каждого интервала времени суток путем длительных наблюдений можно определить среднее число вызовов, которое может быть принято за математическое ожидание числа вызовов для данного интервала времени (см. главы 6 и 17). Тогда можно будет определить по формуле (12.22) закон распределения числа вызовов для любого интервала времени суток и таким образом рассчитать нагрузку телефонной сети. В данном случае областью В является интервал времени длительностью 24 часа. В качестве второго примера рассмотрим распределение осколков снаряда, разрывающегося на некотором расстоянии от цели. Осколки снаряда случайно распределяются по некоторой площади, которую можно назвать зоной разлета осколков. Зная среднее число осколков, попадающих в каждую данную часть зоны разлета осколков, и приняв его за математическое ожидание числа осколков, попадающих в данную часть зоны разлета осколков, можно по формуле (12.22) определить

вероятности попадания различных чисел осколков в различные целиг расположенные в зоне разлета осколков. В данном случае областью В является двумерная зона разлета осколков снаряда.

Заметим, что предположение о независимости вероятностей различных чисел точек, попадающих в данную часть области В, от распределения точек в других частях области В, принятое выше при выводе закона Пуассона, включает и предположение о том, что общее число точек, попадающих в область может принимать любые целые положительные значения. Поэтому для задач, в которых общее число точек ограничено, рассмотренная задача может служить лишь приближенной математической моделью, и в соответствии с этим закон Пуассона может служить приближением к действительному закону распределения числа точек только для таких частей области В, для которых математическое ожидание числа попадающих точек А достаточно мало по сравнению с максимальным возможным общим числом точек, попадающих в область В. Так, в рассмотренном выше примере с осколочным снарядом общее число осколков снаряда ограничено. Поэтому формула (12.22) может служить только для приближенного определения вероятностей различных чисел попаданий осколков в цели, малые по сравнению с зоной разлета осколков снаряда.

Закон Пуассона (12.22), который является точным законом распределения в условиях рассмотренной выше задачи, может быть получен и как предельный закон распределения для биномиального распределения. Рассмотрим серию независимых опытов, в каждом из которых вероятность появления некоторого события А равна Закон распределения числа появлений события А в этой серии опытов определяется, как мы видели в § 6, формулой (6.4). Рассмотрим последовательность подобных серий опытов и предположим, что числа опытов в этих сериях образуют неограниченно возрастающую числовую последовательность, а произведение пр имеет одно и то же значение для всех серий опытов:

Законы распределения числа появлений события А для этих серий опытов определяются формулой

В пределе при это выражение стремится к (12.22). Следовательно, закон Пуассона (12.22) может служить хорошим приближением к биномиальному закону распределения для рассматриваемых серий опытов, содержащих достаточно большое число опытов

Таким образом, мы получаем следующее приближенное выражение биномиального закона распределения при достаточно большом числе опытов и при достаточно малой вероятности

Пример 1. Найти вероятность того, что телефонная станция получит вызовов в интервале времени если средняя плотность числа вызовов в момент равна

Математическое ожидание числа вызовов в бесконечно малом интервале времени по условию равно Следовательно, математическое ожидание числа вызовов в интервале времени равно:

Можно с достаточной точностью считать, что вероятность любого данного числа вызовов в любом интервале времени не зависит от распределения вызовов вне этого интервала. Поэтому число вызовов телефонной станции можно считать случайной величиной, распределенной по закону Пуассона. Следовательно, искомая вероятность вызовов в интервале времени выражается формулой (12.22), где определяется формулой (12.28).

Пример 2. Пусть среднее число электронов, испускаемых нитью накала электронной лампы в единицу времени, равно Найти закон распределения интервала между двумя последовательными моментами вылета электронов.

Число электронов, испускаемых нитью накала электронной лампы в течение данного промежутка времени, так же как и число вызовов телефонной станции, с достаточной точностью описывается законом Пуассона. Математическое ожидание числа электронов, вылетающих из нити за время по условию равно Очевидно, что значение функции распределения интервала между двумя последовательными моментами вылета электронов равно вероятности того, что за время вылетит хотя бы один электрон. Следовательно, на основании формулы (12.22) при