§ 10. Моменты случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Распределение вероятностей случайной величины можно интерпретировать механически как распределение масс на прямой. Вся распределенная на прямой масса принимается за единицу, а плотность в каждой точке принимается равной плотности вероятности в этой точке. Точкам разрыва функции распределения соответствуют сосредоточенные массы. Прерывной случайной величине соответствует прямая с сосредоточенными в определенных точках массами, сумма которых равна единице. Непрерывной случайной величине соответствует непрерывное распределение масс на прямой.

Для того чтобы полностью охарактеризовать распределение масс на прямой или в каком-либо теле, необходимо задать плотность во всех точках прямой или тела, т. е. задать плотность как функцию координат. Однако такая полная характеристика распределения масс не всегда является необходимой. Так, например, в теоретической механике оказывается вполне достаточно знать центр массы и моменты инерции абсолютно твердого тела для того, чтобы полностью изучить его движение. Рассматривая прямую с распределенными на ней массами как абсолютно твердый стержень, можно полностью охарактеризовать его динамические свойства двумя числовыми характеристиками: центром массы и моментом инерции относительно центра массы, не зная плотности в каждой точке стержня. Естественно возникает вопрос: нельзя ли и в теории вероятностей ограничиться какими-либо числовыми характеристиками случайных величин и не интересоваться законами распределения? Оказывается, что для ряда задач это вполне возможно. Для того чтобы численно охарактеризовать некоторые свойства случайной величины, обычно пользуются моментами случайной величины.

Моментом порядка случайной величины X называется интеграл

где плотность вероятности случайной величины Среди моментов случайной величины особое значение имеет момент первого порядка который называется математическим ожиданием или

средним значением случайной величины. Мы будем обозначать математическое ожидание случайной величины X через или сокращенно Таким образом, математическое ожидание случайной величины X определяется формулой

Математическое ожидание является результатом вероятностного осреднения возможных значений случайной величины, т. е. такого осреднения, когда весом каждого возможного значения служит элемент вероятности этого значения В приведенной в начале параграфа механической интерпретации распределения вероятностей математическому ожиданию соответствует центр массы стержня, так как выражение (10.2), очевидно, совпадает с выражением координаты центра массы стержня, имеющего массу, равную единице.

Обобщая формулу (10.2), можно определить математическое ожидание произвольной функции случайной величины X формулой

Сравнивая формулы (10.1) и (10.3), видим, что момент порядка случайной величины X можно определить как математическое ожидание величины

Очевидно, что математическое ожидание никогда не может быть достаточным для характеристики случайной величины, так как оно является лишь средним значением случайной величины и ни в какой мере не характеризует степень сосредоточенности возможных значений случайной величины около среднего значения. Совершенно так же знание центра массы тела недостаточно для того, чтобы изучить все его динамические свойства. Для того чтобы охарактеризовать степень сосредоточенности или степень разброса возможных значений случайной величины около ее среднего значения, обычно пользуются центральными моментами случайной величины.

Центральным моментом порядка случайной величины X называется момент порядка к разности т. е. отклонения случайной величины X от ее математического ожидания. На основании определения момента случайной величины, выраженного формулами (10.1) и (10.4), центральный момент порядка к случайной величины X определится, формулой

Очевидно, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю в силу формул (8.7) и (10.2).

Среди центральных моментов случайной величины особое значение имеет центральный момент второго порядка, который называется дисперсией случайной величины. Дисперсию случайной величины X мы будем обозначать символом или сокращенно Таким образом, дисперсия случайной величины X определяется формулой

Дисперсия случайной величины характеризует до некоторой степени разброс значений случайной величины около ее среднего значения. В рассмотренной в начале параграфа механической интерпретации распределения вероятностей дисперсии соответствует момент инерции стержня относительно его центра массы.

Знания математического ожидания и дисперсии случайной величины оказывается достаточно для решения многих задач теории вероятностей, совершенно так же, как знания положения центра массы стержня и его момента инерции относительно центра массы достаточно для изучения движения стержня. Однако здесь нет полной аналогии с задачами теоретической механики. Знания положения центра массы стержня и его момента инерции относительно центра массы вполне достаточно для решения всех задач теоретической механики, в то время как в теории вероятностей приходится решать и такие задачи, для решения которых недостаточно знать математическое ожидание и дисперсию случайной величины, а необходимо знать ее закон распределения. Примером такой задачи может служить рассмотренная в §§ 7 и 8 задача вычисления вероятности попадания значения случайной величины в данный интерграл.

Дисперсия случайной величины является очень удобной характеристикой рассеивания возможных значений случайной величины. Однако она лишена наглядности, так как имеет размерность квадрата случайной величины. На практике часто бывает удобнее пользоваться такой характеристикой рассеивания возможных значений случайной величины, которая имеет ту же размерность, что сама случайная величина. Такой характеристикой является среднее квадратическое отклонение случайной величины, которое представляет собой положительный квадратный корень из ее дисперсии. Мы будем обозначать среднее квадратическое отклонение случайной величины X символом

Легко видеть, что центральные моменты случайной величины могут быть выражены через ее моменты которые в отличие от центральных моментов часто называются начальными. Для этого

достаточно разложить по формуле бинома Ньютона, после чего найдем:

Полагая здесь, в частности, получим соотношение между математическим ожиданием, дисперсией и моментом второго порядка:

Подставляя в (10.3) выражение (9.23) плотности вероятности прерывной случайной величины, получим на основании (9.4) следующее выражение математического ожидания данной функции прерывной случайной величины X:

Полагая или получим формулы для вычисления начальных и центральных моментов прерывной случайной величины X:

В частности, формула (10.11) при и формула (10.12) при определяют математическое ожидание и дисперсию прерывной случайной величины X:

Сравнивая формулы (8.5) и (10.3), видим, что вероятность выполнения неравенства равна математическому ожиданию функции случайной величины X, определяемой равенствами:

Функция, равная единице во всех точках данного множества А и нулю во всех точках, не принадлежащих множеству называется характеристической функцией множества А. Мы будем обозначать характеристическую функцию множества символом

Вероятность того, что случайная величина X примет какое-нибудь значение, принадлежащее множеству на основании принципа сложения вероятностей и формул (8.5) и (10.3) равна

для любого множества А точек числовой оси.

На оснозании формулы (8.1) и данного в § 7 определения вероятностной меры формулу для математического ожидания данной функции случайной величины X можно представить также в виде:

где через обозначено множество всех точек числовой оси.

Пример 1. Найти моменты равномерно распределенной случайной величины X, плотность вероятности которой определяется формулой (8.8).

Подставляя выражение (8.8) плотности вероятности в формулу (10.1). найдем:

Полагая здесь найдем математическое ожидание: Подставляя выражение (8.8) в (10.5) и выполняя интегрирование, найдем центральные моменты равномерно распределенной случайной величины:

При получим дисперсию равномерно распределенной случайной величины, после чего найдем ее среднее квадратическое отклонение

Пример 2. Найти математическое ожидание и дисперсию числа появлений события А при одном опыте.

Так как при одном опыте число появлений X события А может принять только одно из двух значений: или 1, причем вероятность значения 1 равна вероятности появления события А, а вероятность значения равна вероятности непоявления события то, применяя формулы (10.13), найдем