ГЛАВА 5. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ

§ 30. Определение моментов функций случайных аргументов

В практических приложениях теории вероятностей часто приходится определять вероятностные характеристики случайных величин по заданным вероятностным характеристикам других случайных величин, связанных с интересующими нас случайными величинами функциональной зависимостью. Так, например, если на входе безынерционного элемента действует случайное возмущение, то выходная величина этого элемента также будет случайной. Если при этом известны вероятностные характеристики случайной величины на входе (или на выходе) элемента, то возникает задача определения вероятностных характеристик случайной величины на выходе (соответственно, на входе) элемента. Вторым примером функции случайных аргументов является ошибка прибора, который вырабатывает некоторую величину по введенным в него значениям других величин. Эта ошибка является функцией ошибок введенных в прибор входных параметров. Практически большое значение имеет задача оценки точности прибора (т. е. вероятностных характеристик ошибки прибора) по известной точности измерения входных параметров.

Изложенная в предыдущих главах теория дает формулы для вычисления моментов функций случайных аргументов. Так, если величина У является определенной функцией случайной величины X:

то, согласно формуле (10.3) для математического ожидания произвольной функции случайного аргумента, моменты случайной величины У определяются формулой

где плотность вероятности случайной величины Определив начальные моменты случайной величины К, можно по формуле (10.8) найти ее центральные моменты. Практически в большинстве случаев приходится ограничиваться определением моментов первого и второго порядков: математического ожидания и дисперсии случайной величины К.

Если случайные величины являются определенными однозначными функциями случайных величин

то, согласно формуле (18.1) для математического ожидания произвольной функции случайных величин, моменты случайного вектора К, составляющими которого являются величины определяются формулой

где плотность вероятности случайного вектора Определив по формуле (30.4) начальные моменты случайного вектора К, можно найти его центральные моменты, пользуясь соотношениями между начальными и центральными моментами.

Для вычисления по формулам (30.2) и (30.4) моментов функций случайных аргументов необходимо знать плотность вероятности случайных величин-аргументов. Однако на практике часто бывают известны только числовые характеристики: математические ожидания, дисперсии и корреляционные моменты случайных величин-аргументов, и требуется найти такие же характеристики для функций этих аргументов. Точное определение числовых характеристик функций случайных аргументов по данным числовым характеристикам аргументов возможно для линейных функций, для которых имеют место формулы, выведенные в §§ 19 и 20. Для точного определения математических ожиданий, дисперсий и корреляционных моментов нелинейных функций недостаточно знания таких же характеристик случайных величин-аргументов.

Если случайные величины являются линейными функциями случайных величин

то для определения математических ожиданий случайных величин можно применить формулу (19.13). В результате получим:

Для определения дисперсий и корреляционных моментов случайных величин т. е. элементов корреляционной матрицы случайного вектора К, составляющими которого являются случайные величины можно воспользоваться формулами (20.17) и (20.23), которые дают:

Формулы (30.6) и (30.7) весьма просты, вследствие чего они получили широкое практическое применение. Достоинством этих формул является также то, что они применимы к произвольным комплексным линейным функциям комплексных случайных величин.

Пример 1. На вход безынерционного нелинейного элемента с характеристикой поступают в моменты времени случайные сигналы Найти корреляционный момент соответствующих выходных величин этого элемента считая известной совместную плотность вероятности входных сигналов.

В данном случае имеем две функции случайных величин

Пользуясь формулой (30.4), находим:

Аналогичными формулами определяются По той же формуле (30.4) находим смешанный момент второго порядка величин

После определения начальных моментов дисперсии и корреляционный момент случайных величин находятся по формулам (10.9) и (20.31):

Полученные формулы обычно используются для исследования совместного прохождения сигналов и помех через безынерционные нелинейные элементы [103, 9].

Пример 2. Найти математическое ожидание и дисперсию радиуса-вектора случайной точки на плоскости, считая известной ее плотность вероятности

Применяя формулу (30.4), находим:

Дисперсия радиуса-вектора случайной точки на плоскости на основании (10.9) выражается формулой

Предоставляем читателю самостоятельно произвести вычисления для случая кругового нормального распределения с центром рассеивания в начале координат и со смещенным центром рассеивания.