§ 61. Практический способ построения канонического разложения случайной функции в данной области изменения аргумента

Формулы (60.12), (60.16), (60.18), (60.19) и (60.20) дают алгоритм для нахождения функций определяющих каноническое разложение случайной функции X в данной области изменения аргумента Для практических расчетов этот алгоритм целесообразно несколько видоизменить. Пусть произвольная последовательность функций. Введем случайные величины

Тогда на основании (60.1), (60.12) и (60.16) будем иметь:

Таким образом, для определения коэффициентов достаточно выразить случайные величины через некоррелированные случайные величины пользуясь способом § 21. Сравнивая формулы (61.2) и (21.1), видим, что в данном случае Следовательно, применяя формулы (21.2), (21.8) и (21.10) и учитывая свойство симметрии корреляционных моментов (20.9), получим следующие рекуррентные формулы для вычисления коэффициентов дисперсий случайных величин

где - корреляционные моменты случайных величин Совершенно так же, как в предыдущем параграфе была выведена формула (60.3), получаем для корреляционных моментов случайных величин формулу

Вводя функции

представим формулу (61.5) в виде:

Для того чтобы получить явное выражение функций через функции положим:

Для определения коэффициентов выразим формулой (61.8) функцию

Подставляя это выражение в формулу (60.16), получим:

или, изменяя порядок суммирования,

Сравнивая эту формулу с (61.8), находим следующие выражения коэффициентов через коэффициенты

Подставляя выражения (60.12) и (61.8) в (60.19), получим:

Эти формулы и последняя формула (60.20) дают следующие формулы для координатных функций:

Таким образом, задача нахождения канонического разложения случайной функции X сводится к вычислению функций и корреляционных моментов случайных величин по формулам (61.6) и (61.7),

вычислению коэффициентов и дисперсий по формулам (61.3), (61.4) и (61.12) и определению функций по формулам (60.12), (61.8) и (61.14). Этот способ удобнее, чем способ последовательного определения функций и по формулам предыдущего параграфа, так как позволяет сначала выполнить все действия над функциями дающие в результате функции и корреляционные моменты величин и после этого вычислить коэффициенты и дисперсии при помощи элементарных арифметических действий над числами.

Вместо формул (61.3) и (61.4) можно вывести другие формулы для коэффициентов и дисперсий которые в ряде случаев могут оказаться более удобными, чем формулы (61.3) и (61.4). Подставляя выражения (61.14) в формулу (60.18), получим на основании (61.7) следующие выражения коэффициентов через коэффициенты

Для вывода соответствующих формул для дисперсий подставим выражения (60.12) и (60.16) в первую формулу (60.20). Тогда, принимая во внимание ортогональность функций с различными индексами получим:

Подставляя сюда выражение из (61.13) и принимая во внимание (61.7), получим:

Формулы (61.12), (61.15) и (61.17) позволяют последовательно вычислять коэффициенты и и дисперсии Определив по первой формуле (61.17) дисперсию можно по первой формуле (61.15) и второй формуле (61.12) вычислить коэффициент после чего, пользуясь второй формулой (61.17), найти дисперсию После этого можно вычислить по формулам (61.15), (61.12) и (61.17) коэффициенты и дисперсию . И вообще, определив коэффициенты с данным первым индексом, можно по формулам (61.12) найти коэффициенты с тем же первым индексом, после чего по формулам (61.17) и (61.15) можно найти соответствующую дисперсию и коэффициенты с большим на единицу первым

индексом. Таким образом, формулы (61.12), (61.15) и (61.17) дают алгоритм для последовательного определения коэффициентов и дисперсий по известным величинам

Пример. Найти каноническое разложение случайной функции корреляционная функция которой определяется формулой

Очевидно, что для получения возможно более простых выражений функций определяемых формулой (61.6), целесообразно выбрать в качестве системы функций некоторую систему показательных функций или функций, которые могут быть легко выражены через показательные функции. В соответствии с этим мы выберем следующую систему функций

Подставляя первое из этих выражений в формулу (61.6) при нечетном будем иметь:

или, выполняя интегрирование,

Аналогично для четного найдем:

Подставляя выражения (61.19), (61.20) и (61.22) в формулу (61.7), получаем следующие формулы для величин

Вычислив по этим формулам величины формулам (61.15), (61.12) и (61.17) находим последовательно коэффициенты и дисперсии

Легко сообразить, что в данном случае все коэффициенты которых один индекс четный, а другой нечетный, равны нулю. После определения коэффициентов d формула (61.8) даст следующие выражения функций

и вообще

Формулы (61.14) дадут следующие выражения координатных функций канонического разложения рассматриваемой случайной функции:

и вообще