§ 75. Стационарные случайные функции, эргодические по отношению к корреляционным функциям
В предыдущем параграфе мы нашли необходимое и достаточное условие (74.7), при выполнении которого математическое ожидание стационарной случайной функции является пределом в среднем квадратическом среднего значения случайной функции. Корреляционные функции и моменты случайных функций представляют собой некоторые математические ожидания. Поэтому при некоторых условиях они также являются пределами в среднем квадратическом средних значений соответствующих случайных функций. В частности, для того чтобы корреляционная функция 
действительной стационарной случайной функции 
была пределом в среднем квадратическом среднего значения случайной функции
необходимо и достаточно, чтобы корреляционная функция случайной функции 
удовлетворяла условию (55.9). Это условие приводится к виду (74.8), если случайная функция 
сама стационарна.
Рассмотрим подробнее случай, когда действительная стационарная случайная функция X распределена нормально. Математическое ожидание случайной функции 
равно значению корреляционной функции случайной функции 
при 
Для определения корреляционной функции случайной функции 
найдем сначала ее начальный момент второго порядка, после чего воспользуемся формулой (50,7). Момент второго порядка случайной функции 
представляет собой центральный момент четвертого порядка случайной функции 
Так как случайная функция 
по условию распределена нормально, то, пользуясь формулой (29.8), можно выразить центральный момент четвертого порядка случайной функции 
через ее корреляционную функцию. Тогда получим:
Корреляционная функция случайной функции 
на основании формул (50.7), (75.2) и (75.4), будет равна:
Эта формула показывает, что случайная функция 
мтарионарна, так как ее корреляционная функция зависит только от интервала 
фиксировано). На основании формулы (74.8) необходимым и достаточным условием эргодичности стационарной случайной функции 
является равенство 
Выполнение этого условия при любом 
необходимо и достаточно для того, чтобы корреляционная функция нормально распределенной действительной стационарной случайной функции X при любом 
выражалась формулой
Необходимое и достаточное условие (75.6) представления корреляционной функции случайной функции 
формулой (75.7) имеет сложную форму, вследствие чего практическая проверка его выполнения может быть в некоторых случаях затруднительной. Поэтому для практических целей условие (75.6) целесообразно заменить более простым достаточным условием. Легко видеть, что таким достаточным условием является неограниченное убывание корреляционной функции 
по модулю при 
условие (74.9).
Совершенно аналогично доказывается, что. необходимым и достаточным условием того, чтобы взаимная корреляционная функция составляющих действительной стационарной нормально распределенной векторной случайной функции удовлетворяла предельному равенству
является равенство
Необходимое и достаточное условие (75.9) может быть заменено более простым достаточным условием неограниченного убывания по абсолютной величине корреляционных функций и взаимной корреляционной функции случайных функций 
:
при достаточно большом 
и при произвольно малом положительном 
Стационарные случайные функции, для которых справедливы формулы (75.7) и (75.8), мы будем называть эргодическими по отношению к корреляционным функциям.
Пример. Стационарная случайная функция 
рассмотренная в примере 1 § 72, не является эргодической по отношению к корреляционной функции, так как 
и
и, следовательно, условие (75.6) не удовлетворяется. В примере предыдущего параграфа мы видели, что эта случайная функция является эргодической по отношению к математическому ожиданию. Таким образом, мы имеем пример стационарной случайной функции, эргодической по отношению к математическому ожиданию и не эргодической по отношению к корреляционной функции.
