§ 60. Каноническое разложение случайной функции в данной области изменения аргумента

Возьмем теперь в качестве коэффициентов канонического разложения (56.1) случайной функции X линейные комбинации значений центрированной случайной функции соответствующих всем значениям аргумента в данной области т. е. интегралы

На функции нужно наложить только одно ограничение, вытекающее из условия, что величины должны быть некоррелированными.

Для того чтобы найти уравнение, которому должны удовлетворять функции вычислим корреляционный момент случайных величин определяемых формулой (60.1):

или

Условие некоррелированности величин V при дает уравнения, которым должны удовлетворять функции

В дальнейшем мы покажем, что всегда можно определить функции удовлетворяющие уравнениям (60.4), и притом бесчисленным множеством способов. Определив функции можем найти дисперсии случайных величин положив в формуле Тогда, принимая во внимание, что математические ожидания величин равны нулю, получим:

Для определения координатных функций подставим выражение (60.1) в формулу (57.5). Тогда получим:

или

На основании этой формулы

после чего формулы (60.4) и (60.5) дают следующие соотношения между функциями

где равно единице при и равно нулю при Соотношения (60.9) обычно называются условиями биортогональности функций Любая система пар функций удовлетворяющая уравнениям (60.7) и условиям биортогональности (60.9), в принципе дает каноническое разложение случайной функции

Принимая во внимание симметрию корреляционной функции, получаем на основании (60.7) равенство

Из сравнения этого равенства с (60.8) вытекает формула

Отсюда видно, что если функция ортогональна к функции то и функция а ортогональна к функции т. е. если интеграл (60.9) равен нулю при то интеграл (60.9), соответствующий также равен нулю. Это обстоятельство дает возможность последовательно находить пары функций удовлетворяющие условиям (60.7) и (60.9). Определив функцию так, чтобы она была ортогональна к функциям мы получим

по формуле (60.7) функцию ортогональную ко всем функциям Следовательно, условия (60.7) и (60.9) будут выполнены для всех если они выполняются для всех

Теперь мы можем показать, как можно найти систему пар функций удовлетворяющих условиям (60.7) и (60.9). Возьмем произвольную систему функций положим:

Тогда по формулам (60.5) и (60.7) определяется дисперсия и функция Положим далее

и определим постоянную так, чтобы функции удовлетворяли условию (60.9). На основании (60.13)

Отсюда видим, что, для того чтобы условие (60.9) выполнялось при необходимо определить формулой:

Определив функцию найдем по формулам (60.5) и (60.7) дисперсию и функцию При этом на основании (60.11) функция будет ортогональной к Таким образом, две пары функций будут удовлетворять условиям (60.7) и (60.9).

Продолжая таким образом, предположим, что определены функции удовлетворяющие уравнениям (60.7) и (60.9), и соответствующие дисперсии Положим:

и определим коэффициенты так, чтобы функция была ортогональна к Так как условия (60.9) по предположению выполняются при всех то при

Отсюда видно, что для выполнения условия (60.9) при необходимо определить постоянные формулой:

Формулы (60.16) и (60.18) полностью определяют функцию После этого формулы (60.5) и (60.7) дадут дисперсию и функцию При этом на основании (60.11) функция будет ортогональна к функциям Этот процесс последовательного определения функций и дисперсий можно продолжать неограниченно. В зависимости от выбора системы функций мы получим различные системы пар функций . Так как функции можно выбрать бесчисленным множеством способов, то соответственно этому существует бесчисленное множество систем пар функций удовлетворяющих условиям (60.7) и (60.9).

Практически для определения дисперсий и координатных функций удобно ввести вспомогательные функции

Тогда формулы (60.5) и (60.7) дадут:

Таким образом, взяв произвольную последовательность функций положив и определив функции х и величины рекуррентными формулами (60.16), (60.18), (60.19) и (60.20), можно найти систему пар функций удовлетворяющих условиям (60.7) и (60.9).

Очевидно, что если умножить функцию на произвольное положительное число и разделить функцию на то же число, то дисперсия умножится на квадрат этого числа и условия (60.7) и (60.9) не нарушатся. Этим обстоятельством можно воспользоваться для того, чтобы сделать дисперсию равной произвольному положительному числу. Таким образом, определив изложенным способом функции можно умножением функций на соответствующие положительные числа и делением функций на эти числа сделать дисперсии равными произвольно заданным числам, например, сделать все их равными единице. Впрочем, для большинства практических задач значения дисперсий безразличны, и приводить их К заданной последовательности чисел не имеет смысла

Легко видеть, что метод построения канонического разложения случайной функции, изложенный в § 58, представляет собой частный случай только что изложенного метода. В самом деле, принимая в качестве функций линейные комбинации -функций:

мы приведем формулы (60.1), (60.7) и (60.9) соответственно к виду (58.1), (58.9) и (58.14). Остальные формулы этого параграфа совпадут с соответствующими формулами § 58. Несмотря на то, что метод § 58 является менее общим, чем только что изложенный метод, он имеет то преимущество, что дает точное представление случайной функции в выбранных точках и доказательство этого положения не вызвало никаких затруднений.

Для того чтобы доказать сходимость найденного канонического разложения в среднем квадратическом к случайной функции X, необходимо исследовать остаточный член этого канонического разложения. Из формулы (57.11) видно, что необходимым и достаточным условием сходимости канонического разложения (56.1) в среднем квадратическом к случайной функции является сходимость ряда к дисперсии случайной функции или, что то же, сходимость канонического разложения корреляционной функции (56.2) в соответствующей точке

Для того чтобы доказать сходимость канонического разложения корреляционной функции (56.2), рассмотрим однородное линейное интегральное уравнение, ядром которого является корреляционная функция (см. [42], а также Дополнение, II):

где — произвольная неотрицательная функция веса. Если существует интеграл

то существует дискретная последовательность (конечная или счетная) собственных значений

и соответствующих собственных функций ортонормированных с весом так что

причем все собственные значения положительны.

Если корреляционная функция непрерывна при изменении обоих аргументов в области то она может быть представлена в области абсолютно и равномерно сходящимся рядом:

В общем случае, когда корреляционная функция может иметь разрывы, ряд в формуле (60.27) сходится к корреляционной функции в среднем, так что

Формулы (60.25) и (60.26) являются частным случаем формул (60.7) и (60.9) при Следовательно, собственные функции интегрального уравнения (60.22) могут быть приняты за координатные функции канонического разложения случайной функции Формула (60.27) дает соответствующее каноническое разложение корреляционной функции. Сходимость разложения корреляционной функции (60.27) обеспечивает сходимость в среднем квадратическом канонического разложения случайной функции по собственным функциям:

при тех же значениях аргумента При этом дисперсии случайных величин равны соответствующим собственным значениям Итак, на основании известных положений теории интегральных уравнений всякая случайная функция может быть представлена каноническим разложением по собственным функциям интегрального уравнения, ядром которого является ее корреляционная функция, а функция веса может быть выбрана совершенно произвольно. При этом функция веса всегда может быть выбрана, и притом бесчисленным множеством способов, так, чтобы интеграл (60.23) существовал (в том числе и в случае бесконечной области Для определения собственных значений и собственных функций необходимо решить интегральное уравнение (60.22), что связано с довольно трудоемкими вычислениями. В то же время, как мы видели выше, процесс определения координатных функций х, и соответствующих функций удовлетворяющих уравнениям (60.7) и (60.9), совершенно элементарен и не требует громоздких вычислений. Поэтому практически канонические разложения случайных функций по собственным функциям неудобны и интересны только в теоретическом отношении.

Для того чтобы доказать сходимость канонического разложения корреляционной фзгнкции (56.2) при произвольных координатных функциях подставим в формулу (60.7) разложение (60.27) корреляционной функции по собственным функциям. Тогда получим:

Полагая

можем представить формулу (60.30) в виде:

Умножая формулу (60.30) на интегрируя по области и принимая во внимание (60.31), (60.32) и (60.9), получим:

Эта формула показывает, что бесконечная матрица унитарна [Дополнение, формулы (1.29)]. Следовательно, формула (60.33) при каждом данном определяет унитарное преобразование вектора с составляющими дающее в результате вектор с составляющими Но унитарное преобразование оставляет неизменным модуль вектора, и поэтому при любом [Дополнение, формула (1.31)]:

Подставляя сюда выражения функций и из (60.32), получим:

Эта формула показывает, что общее каноническое разложение корреляционной функции (56.2) и ее разложение по собственным функциям (60.27) при каждом данном сходятся к одному и тому же пределу. Следовательно, общее каноническое разложение (56.1) случайной функции сходится в среднем квадратическом к случайной функции одновременно с разложением по собственным функциям (60.29), если все числа определяемые формулой (60.31), существуют для соответствующей системы собственных функций. В частности, в случае непрерывной корреляционной функции и конечной области канонические разложения (56.1) и (60.29) случайной функции сходятся в среднем квадратическом при всех в области

Пример 1. Найти каноническое разложение белого шума с постоянной интенсивностью, равной в интервале

В данном случае математическое ожидание случайной функции X тождественно равно нулю, а корреляционная функция определяется формулой

Легко видеть, что уравнениям (60.7) и (60.9) в данном случае удовлетворяют функции

Действительно,

и

Таким образом, функции (60.38) удовлетворяют условиям (60.9). Для того чтобы убедиться в том, что и условие (60.7) удовлетворяется, достаточно показать, что функции определяемые формулой (60.19), пропорциональны соответствующим функциям При этом коэффициенты пропорциональности на основании второй формулы (60.20) будут равны соответствующим дисперсиям Подставляя выражение (60.37) корреляционной функции и выражение (60.38) функции в формулу (60.19), получим:

Таким образом, функции отличаются от функций определяемых второй формулой (60.38), только постоянным множителем. Это доказывает, что функции и определяемые формулами (60.38), удовлетворяют условию (60.7). Дисперсии случайных коэффициентов канонического разложения будут на основании последней формулы (60.20) равны:

На основании общих формул (56.1) и (56.2) получаем каноническое разложение рассматриваемой случайной функции и ее корреляционной функции:

Совершенно аналогично для случая, когда корреляционная функция случайной функции X определяется более общей формулой

условия (60.7) и (60.9) удовлетворяются, если принять

В этом случае для случайной функции X и ее корреляционной функции получаем канонические разложения:

В данном случае, очевидно, невозможно представить корреляционную функцию случайной функции с высокой степенью точности небольшим количеством членов ее канонического разложения (60.44) или (60.48). Несмотря на это, как мы увидим в главах 13 и 17, найденные канонические разложения могут служить для исследования точности линейных систем автоматического

управления. При этом в найденных канонических разложениях можно ограничиться тем меньшим количеством членов, чем более инерционной является исследуемая система (т. е. чем уже ее полоса пропускания). Мы встретимся в дальнейшем с примером, когда можно будет с достаточной точностью ограничиться в канонических разложениях (60.43) и (60.44) учетом десятой гармоники (т. е. слагаемыми, соответствующими значениям ).

Рис. 26.

Пример 2. Найти каноническое разложение случайной функции X, корреляционная функция которой определяется формулой

в интервале

Легко проверить непосредственной подстановкой, что функции

где

а положительные корни уравнения

расположенные в порядке возрастания (рис. 26), удовлетворяют условиям ортонормальности

и что функция удовлетворяет интегральному уравнению [64]

при Таким образом, числа определяемые формулой (60.51) и уравнением (60.52), представляют собой неограниченную убывающую последовательность собственных значений уравнения (60.54), а формула (60.50) определяет соответствующие собственные функции. Следовательно, можно принять

Тогда получим каноническое разложение случайной функции X в виде:

причем дисперсии некоррелированных случайных величин будут равны соответствующим собственным значениям

Пользуясь возможностью, умножать функции произвольные положительные числа и делить функции х, на те же числа, можно также принять

Тогда получим другое каноническое разложение случайной функции X:

Дисперсии некоррелированных случайных величин К, будут при этом равны:

Каноническое разложение (60.59) будет нам удобно для решения примера 2 § 134.

Из того, что функции (60.57) и (60.58) удовлетворяют условиям (60.7) и (60.9) в интервале в случае корреляционной функции (60.49), следует, что функции

при любой положительной функции удовлетворяют условиям (60.7) и (60.9) в интервале 0в случае, когда корреляционная функция определяется формулой

Следовательно, случайная функция X, корреляционная функция которой выражается формулой (60.63), может быть представлена в интервале каноническим разложением

где имеют прежнее значение, а дисперсии случайных величин определяются формулой (60.60).

Очевидно, что для получения канонических разложений рассмотренных случайных функций в произвольном интервале длины достаточно заменить под знаком синуса во всех предыдущих формулах величиной

Пример 3. Найти каноническое разложение случайной функции X, корреляционная функция которой определяется формулой (54.30), в интервале .

Предполагая в соответствии со сказанным в примере 2 § 54, что отношение является монотонно возрастающей функцией положим:

где а — произвольное положительное число. Величина является монотонно возрастающей функцией причем интервалу 5—7 соответствует интервал Определим функцию равенством

Тогда замена переменной новой переменной приводит формулу (54.30) к виду:

Следовательно, для нахождения канонического разложения случайной функции X в интервале достаточно, рассматривая ее как функцию переменной воспользоваться найденным в предыдущем примере каноническим разложением (60.64), заменив величины и соответственно величинами Тогда, выполняя обратную замену переменных, найдем функции удовлетворяющие условиям (60.7) и (60.9) в интервале

где

Следовательно, случайная функция X выражается в интервале — каноническим разложением

где величины определяются формулой (60.51), а представляют собой положительные корни уравнения

Дисперсии случайных коэффициентов определяются формулой (60.60).