§ 142. Определение оптимального оператора по критерию минимума среднего риска в особых случаях

Рассмотрим теперь случай, когда некоторые из функции не могут быть представлены разложениями (141.10). Перенумеруем так же, как и в § 136, функции таким образом, чтобы функциями, которые не могут быть представлены разложениями (141.10), были Случаю, когда ни одна из функций не может быть представлена разложением (141.10), соответствует Так же, как в § 136, определим функции формулой (136.1). Эти функции будут удовлетворять условиям (136.7). После этого определим линейные функционалы удовлетворяющие условиям (136.4) и (136.8). На основании формулы (141.10), справедливой по предположению для функций и формул (136.1) и (122.9) формула (141.9) дает в рассматриваемом случае:

откуда

Из формул (142.2), (136.4) и (136.8) следует, что

Формулы (142.2), (142.3) и (141.7) показывают, что случайная функция полностью определяется заданием случайных величин наоборот, случайные величины полностью определяются заданием случайной функции Иными словами, задание реализации случайной функции вполне равноценно заданию значений случайных величин и

Результат действия любого оператора на случайную функцию в этом случае будет некоторой функцией независимой переменной 5 и случайных величин Следовательно, искомый оптимальный оператор имеет вид:

где функция, подлежащая определению.

На основании изложенного

где условная плотность вероятности случайных величин относительно величин На основании формул (16.17) и (15.17) эта условная плотность вероятности выражается формулой

Отсюда, пользуясь формулой (141.19), совершенно так же, как в предыдущем параграфе, находим:

Подставляя выражение (142.8) в формулу (142,6) и рассуждая так же, как в предыдущем параграфе, приходим к заключению, что для обеспечения минимума условного математического ожидания функции потерь относительно наблюдаемой случайной функции следует определить функцию в формуле (142.5) из условия минимума интеграла

Пусть — значение переменной при котором интеграл

рассматриваемый как функция при фиксированных значениях о» имеет наименьшее значение. Очевидно, что является функцией

Сравнивая формулы (142.9) и (142.10), приходим к заключению, что функция реализующая минимум интеграла (142.9), определяется формулой

где величины определяются формулами (141.25).

Заменяя в формуле (142.12) переменные случайными величинами и принимая во внимание (141.29) и (142.3), получим следующую формулу для оптимального оператора:

Таким образом, в случае, когда функции не выражаются разложением (141.10), для определения оптимального оператора достаточно найти линейные операторы удовлетворяющие соответствующим уравнениям (124.2) и (124.3), линейные функционалы которые, как было показано в § 136, являются линейными операторами, удовлетворяющими однородному уравнению (124.15), и функцию о» реализующую минимум интеграла (142.10).

Для оценки точности оптимального оператора необходимо определить соответствующий оптимальному оператору средний риск.

Совершенно так же, как была получена формула (141.37) находим:

где определитель матрицы алгебраическое дополнение элемента в этом определителе.

Пример. Найти оптимальную систему для условий примера § 136, пользуясь критерием минимума математического ожидания функции предполагая, что случайный вектор и случайная функция X распределены нормально.

В данном случае, как мы видели в примере § 136, функция не выражается разложением по координатным функциям случайной функции Согласно изложенной теории, в данном случае задача определения оптимального оператора сводится к нахождению линейных операторов Л) и и к определению функции из условия минимума интеграла (142.10). Линейные операторы и были найдены в примере § 136. Их весовые функции выражаются соответственно формулами (136.35) и (136.34). Величины также были найдены в примере § 136. Они определяются формулами (136.36). Следовательно, интеграл (142.10) принимает в данном случае вид:

где элементы матрицы, обратной по отношению к корреляционной матрице случайного вектора

Применяя для вычисления интеграла формулу (9.19), получим:

Приравнивая нулю значение производной этой функции по х при и решая полученное таким образом уравнение, найдем

Случайные величины и от которых зависит оптимальная оценка сигнала, на основании (141.29), (136.35), (142.3) и (136.34) определяются формулами

Подставляя эти выражения в формулу (142.17) вместо переменных получим следующую формулу для оптимального оператора:

Сравнивая эту формулу с (136.40), видим, что в данном случае оптимальным в классе всех возможных операторов является линейный оператор, найденный в примере § 136 по критерию минимума средней квадратической ошибки в классе линейных операторов.