§ 11. Нормальный закон распределения

Случайные величины, встречающиеся в практике, чаще всего бывают подчинены нормальному закону распределения, для которого плотность вероятности определяется формулой

Параметр а является наивероятнейшим значением случайной величины, так как при плотность вероятности имеет наибольшее значение. Параметр а характеризует положение распределения на числовой оси и обычно называется центром распределения или центром рассеивания (рис. 7).

Рис. 7.

Происхождение последнего названия объясняется тем фактом, что функция (11.1) симметрична относительно точки а, т. е. имеет одинаковые значения для одинаковых по абсолютной величине и отличающихся знаком значений .

Параметр характеризует степень сосредоточенности распределения около центра рассеивания. При увеличении плотность вероятности в центре рассеивания растет, а в точках, удаленных от центра рассеивания, убывает (рис. 7). Поэтому параметр называется мерой точности.

Легко сообразить, что математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно а, так как нормальное распределение симметрично относительно центра рассеивания: Этот же результат получается, если подставить в (10.2) выражение (11.1) нормальной плотности вероятности и выполнить интегрирование.

Подставляя выражение (11.1) в (10.5), найдем центральные моменты нормально распределенной случайной величины:

Формула (11.2) следует непосредственно из симметрии нормального распределения относительно точки . Для вывода формул (11.2)

и (11.3) можно сделать замену переменной интегрирования в (10.5) по формуле и воспользоваться формулой, которая получается из (9.19) дифференцированием по параметру

Полагая в найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины:

Пользуясь первой формулой (11.4), можем выразить все центральные моменты четных порядков через дисперсию:

Таким образом, для нормального распределения все центральные моменты нечетных порядков равны нулю, а все центральные моменты четных порядков выражаются через дисперсию.

Подставляя в формулу (11.1) выражение меры точности из (11.4) и принимая во внимание, что а, получим выражение нормальной плотности вероятности через математическое ожидание и дисперсию или среднее квадратическое отклонение случайной величины:

Таким образом, нормальный закон распределения вполне определяется математическим ожиданием и дисперсией (или средним квадратическим отклонением) случайной величины.

Найдем функцию распределения случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения. Для этого подставим в формулу (8.6) выражение (11.6) плотности вероятности. Тогда получим:

Интеграл в этой формуле не выражается через элементарные функции. Для вычисления этого интеграла, который часто встречается в приложениях, и не только в теории вероятностей, вводится новая функция:

Для этой функции составлены таблицы (см., например, Приложение, таблица III). Функция нечетная:

что легко доказывается заменой переменных в формуле (11.8). Кроме того, как показывает формула (9.20), стремится к половине при Пользуясь этими свойствами функции можно представить формулу (11.7) в виде:

Подставляя в формулу (7.7) выражение (11.10) нормальной функции распределения, получим формулу для вероятности того, что нормально распределенная случайная величина примет значение, заключенное в данном интервале

В частном случае, когда интервал симметричен относительно центра рассеивания, и формула (11.11) примет вид:

или, так как нечетная функция,

В артиллерии часто пользуются вместо среднего квадратического отклонения другой характеристикой рассеивания случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения, а именно ее вероятным отклонением.

Вероятным или срединным отклонением нормально распределенной случайной величины называется половина длины интервала, симметричного относительно центра рассеивания, вероятность попадания значения случайной величины в который равна половине. Обозначая вероятное отклонение случайной величины X через можем написать определение вероятного отклонения в виде:

Принимая во внимание, что для нормального закона распределения и пользуясь формулой (11.13), найдем следующее

соотношение между вероятным отклонением и средним квадратическим отклонением:

Корень уравнения

обычно обозначается буквой Число является трансцендентным. Округляя его до четырех значащих цифр, можно принять Сравнивая (11.15) и (11.16), находим:

Формулы (11.4) и (11.17) дают выражение вероятного отклонения нормально распределенной случайной величины через ее меру точности:

Пример. Найти вероятности попадания значения нормально распределенной случайной величины в интервалы

Пользуясь формулой (11.13) и таблицей функции (Приложение, таблица III), находим:

Пользуясь полученными числами, можем найти вероятности попадания значения нормально распределенной случайной величины в интервалы длины

Расположенные на различных удалениях от центра рассеивания: 0,341; 0,136; 0,1321; 0,0013; 0,00003,... Полученные цифры показывают, что с вероятностью 0,997 отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания не превосходит За. Это дает основание считать, что все практически возможные значения нормально распределенной случайной величины заключены в интервале Аналогично найдем вероятности попадания значения нормально распределенной случайной величины в отрезки длиной в одно вероятное отклонение, расположенные на различном удалении от центра рассеивания: 0,25; 0,16; 0,067; 0,018; 0,003, ... Эти цифры показывают, что с вероятностью 0,993 отклонение нормально распределенной случайной величины от центра рассеивания не превосходит Поэтому обычно считают, что все практически возможные значения нормально распределенной случайной величины заключены в интервале При этом вероятности попадания значения случайной величины в интервалы длиной в одно вероятное отклонение округляют и принимают равными 0,25; 0,16; 0,07; 0,02. Эти числа хорошо знакомы каждому, кто проходил практическое обучение стрельбе.