§ 82. Оператор динамической системы как общая ее характеристика

Всякая система автоматического управления, в частности система автоматического регулирования, представляет собой динамическую систему, состояние которой определяется некоторыми переменными величинами. Место динамической системы, в котором следует установить соответствующий измерительный прибор, для того чтобы можно было измерить ту или иную из величин, определяющих состояние системы, называется выходом системы. Число величин, задание которых в виде определенных функций времени полностью определяет состояние системы в каждый момент соответствующего промежутка времени, называется числом выходов системы. Место динамической системы, в котором в нее входит то или иное из действующих на нее возмущений, называется входом системы. Число точек приложения возмущений (как полезных, так и помех) называется числом входов системы. Задание всех действующих на динамическую систему возмущений в виде определенных функций времени полностью определяет поведение системы, т. е. определяет все выходные переменные системы как функции времени. Таким образом, всякой динамической системе соответствует некоторый закон, по которому определенным функциям времени (данным возмущениям) сопоставляются другие функции времени (выходные переменные системы). Иными словами, всякой динамической системе соответствует некоторый оператор, осуществляющий преобразование входных возмущений и дающий в результате выходные переменные системы как функции времени. Оператор системы является наиболее общей характеристикой динамической системы.. Для того чтобы задать оператор системы, необходимо задать всю совокупность математических операций, которые необходимо выполнить для того, чтобы по заданным в виде определенный функций времени входным возмущениям определить все выходные величины системы как функции времени. Оператор произвольной динамической системы может быть задан в виде уравнений, определяющих физические процессы в элементах системы и связывающих в итоге выходные переменные системы со входными возмущениями. Эти уравнения в общем случае будут содержать также ряд вспомогательных переменных, определяющих состояние отдельных элементов рассматриваемой системы.

Переменные, определяющие состояние системы, можно в принципе выбирать различными способами. В соответствии с этим можно говорить о различных выходах системы. Каждой совокупности

независимых величин, полностью определяющих состояние системы, и соответствующих им выходов системы соответствует вполне определенный оператор системы. Различным способам выбора независимых величин, определяющих состояние системы, соответствуют различные операторы одной и той же системы. Само собой разумеется, что все возможные операторы одной и той же системы не являются независимыми и связаны друг с другом вполне определенными уравнениями, так же как и различные совокупности независимых величин, определяющих состояние системы, связаны друг с другом вполне определенными уравнениями. Поэтому для полной характеристики системы достаточно задать ее оператор, соответствующий какой-нибудь одной совокупности независимых величин, определяющих состояние системы. Очевидно, что при любом выборе независимых величин, определяющих состояние системы, число независимых величин, а следовательно и число выходов системы, остается неизменным.

Динамические системы с одним выходом обычно называются одномерными, а системы с несколькими выходами — многомерными. Многомерная динамическая система может состоять из соответствующего числа одномерных систем, работающих независимо друг от друга. В этом случае каждую из независимых одномерных систем, входящих в состав многомерной системы, можно исследовать отдельно, независимо от других одномерных систем. Для того чтобы данная многомерная система распадалась на независимые одномерные системы, необходимо и достаточно, чтобы каждое возмущение, действующее на данную многомерную систему, влияло только на какую-нибудь одну из выходных переменных системы и совершенно не влияло на остальные выходные переменные. Если на данную многомерную систему действует хотя бы одно возмущение, влияющее одновременно на несколько выходных переменных системы при любом выборе независимых величин, определяющих состояние системы, то такая система является существенно многомерной.

Все действующие на динамическую систему возмущения можно рассматривать как составляющие векторной функции. Точно так же выходные переменные системы можно рассматривать как составляющие векторной функции. Поэтому в наиболее общем случае динамическая система осуществляет преобразование векторной функции, дающее в результате другую векторную функцию.

В качестве примера динамической системы рассмотрим следящую систему, предназначенную для непрерывного измерения некоторой переменной величины. Всякая следящая система состоит из измерительного прибора, определяющего ошибку измерения, исполнительного устройства, отрабатывающего ошибку измерения на нуль, и корректирующих устройств, предназначенных для обеспечения соответствующего качества процесса слежения результата измерения за измеряемой величиной. Выходной переменной следящей системы

является результат измерения, а входными возмущениями являются измеряемая величина, представляющая собой полезное возмущение (полезный сигнал), ошибка измерения разности между результатом измерения и измеряемой величиной и другие ошибки элементов следящей системы. Если измеряемая величина является скалярной, то следящая система будет одномерной. Если же измеряемая величина представляет собой вектор, то следящая система будет двумерной или трехмерной. Если каждое возмущение, и прежде всего закон изменения каждой составляющей измеряемого вектора, влияет только на одну составляющую результата измерения и совершенно не влияет на остальные его составляющие, то рассматриваемая следящая система состоит из соответствующего числа независимых одномерных систем. Если же хотя бы одно из возмущений влияет одновременно на несколько составляющих результата измерения, то следящая система не распадается на соответствующее число независимых одномерных систем.

В качестве второго примера рассмотрим систему автоматического управления полетом самолета в вертикальной плоскости, предназначенную для обеспечения прямолинейного горизонтального полета (т. е. для обеспечения полета с нулевым вертикальным ускорением). Основным элементом такой системы управления является акселерометр, измеряющий вертикальную составляющую ускорения самолета, сигналы которого преобразуются соответствующими корректирующими устройствами и управляют работой рулевой машины. Входными возмущениями, действующими на такую систему управления, являются случайная вертикальная составляющая вектора скорости ветра (турбулентность атмосферы), ошибка измерения вертикальной составляющей ускорения самолета и шумы в аппаратуре, преобразующей сигналы акселерометра. В качестве выходной переменной системы управления можно принять высоту полета самолета или вертикальную составляющую вектора скорости самолета, или вертикальную составляющую ускорения самолета.

Динамическая система называется линейной, если ее оператор является линейным. В соответствии с определением линейного оператора (81.3) линейная система обладает тем свойством, что результат влияния на нее нескольких возмущений представляет собой сумму результатов влияния отдельных возмущений. Иными словами, для линейных систем применим принцип суперпозиции, который математически выражается формулой (81.3). В применении к линейной динамической системе этот принцип может быть выражен следующим образом. Если на линейную систему действует возмущение представляющее собой линейную комбинацию функций

то выходная переменная системы представляет собой точно такую же линейную комбинацию

выходных переменных этой системы соответствующих действующим по отдельности возмущениям

где оператор системы. Так как, согласно, данному в предыдущем параграфе определению, принцип суперпозиции справедлив для линейных операторов при любом и при любом выборе величин и функций то он распространяется для линейных систем и на возмущения в виде интегралов. Если входное возмущение системы выражается интегралом

то выходная переменная системы выражается точно таким же интегралом:

где функции представляют собой выходные переменные данной системы, соответствующие возмущениям при тех же значениях параметра X:

Линейные системы представляют собой весьма важный класс динамических систем. Методы исследования линейных систем наиболее хорошо развиты. Поэтому даже при изучении нелинейных систем обычно стараются хотя бы приближенно рассматривать их как линейные. Во многих случаях такой подход дает достаточную для практики точность.

Вторым важным классом динамических систем являются стационарные системы. Система называется стационарной, если результат действия на нее возмущения, представляющего собой любую данную функцию времени, не зависит от момента начала действия этого возмущения, а зависит только от интервала времени между моментом начала действия возмущения и данным моментом. Математически это определение может быть выражено формулой

где А — оператор системы, произвольный начальный момент времени. Формула (82.7) показывает, что при сдвиге кривой,

изображающей действующее на систему возмущение вдоль оси времени без изменения формы этой кривой, кривая, изображающая выходную переменную системы, сдвигается без изменения формы вдоль оси времени на ту же самую величину. Для нестационарных систем характерна зависимость выходного сигнала не только от формы действующего возмущения, но и от момента начала его действия. В соответствии с этим для нестационарной системы формула (82.7) заменится формулой

где представляет собой функцию двух переменных. Формула (82.8) показывает, что при сдвиге кривой возмущения кривая, изображающая выходную переменную системы, не только сдвигается на ту же величину вдоль оси времени, но и деформируется при этом в зависимости от величины сдвига Стационарные системы могут быть как линейными, так и нелинейными. Точно так же линейные системы могут быть как стационарными, так и нестационарными. Таким образом, деление систем на линейные и нелинейные и на стационарные и нестационарные производится по совершенно различным, не связанным друг с другом признакам.

Всякая система управления (в частности, система автоматического регулирования) состоит из ряда более простых (элементарных) систем, соединенных между собой. Основными видами соединения элементарных систем в сложной системе являются последовательное соединение, параллельное соединение и замыкание обратной связью. Последовательным соединением одномерных систем называется такое соединение, когда выход каждой системы соединяется со входом последующей системы (рис. 32).

Рис. 32.

Рис. 33.

Рис. 34.

Параллельным соединением одномерных систем называется такое соединение, когда на входы всех систем подается одна и та же возмущающая функция, а выходные переменные систем суммируются и образуют общую выходную переменную (рис. 33). Обратной связью называется соединение выхода одномерной системы с ее входом. В этом случае на вход системы поступает наряду со входным возмущением и выходная переменная системы (рис. 34). Обратная связь называется жесткой в том

случае, когда выходная переменная подается на вход без предварительного преобразования. Жесткая обратная связь называется положительной, если выходная величина системы суммируется со входным возмущением, и отрицательной, если выходная величина вычитается из входного возмущения. Обратная связь называется гибкой, если выходная величина системы подводится к ее входу после прохождения через некоторую другую систему.

Все эти определения легко обобщаются на многомерные системы. Последовательным соединением многомерных систем называется такое их соединение, когда каждый вход последующей системы соединяется с соответствующим выходом предыдущей системы (рис. 35). Параллельным соединением многомерных систем, имеющих одинаковое число входов и выходов, называется такое их соединение, когда на входы всех систем действуют одни и те же возмущения, а соответствующие выходные переменные суммируются (рис. 36).

Рис. 35.

Рис. 36.

Обратной связью называется всякое соединение выходов многомерной системы с ее входами.

Система называется обратной (инверсной) по отношению к данной системе, если при последовательном соединении ее с данной системой получается система тождественного преобразования, т. е. такая система, выходная переменная которой (скалярная или векторная) в каждый момент времени равна входному возмущению. Оператор системы, обратной по отношению к системе, характеризуемой оператором обычно обозначается через Очевидно, что система с оператором А является обратной по отношению к системе с оператором Иными словами, системы, имеющие операторы всегда являются взаимно обратными. Примером взаимно обратных систем могут служить система, преобразующая данную случайную функцию в белый шум и система, формирующая случайную функцию из белого шума Операторы этих систем выражаются формулами теории интегральных канонических представлений случайных функций (67.1) и (56.4). Другим примером взаимно обратных систем являются система, преобразующая данную случайную функцию X в последовательность некоррелированных случайных величин согласно формуле (62.1), и система, преобразующая последовательность случайных величин в данную случайную функцию X по формуле (56.1).