§ 87. Стационарные линейные системы

Согласно данному в § 82 определению стационарной системы реакция стационарной линейной системы на импульсное возмущение действующее на любом ее входе, зависит только от интервала времени между данным моментом и моментом действия импульсного возмущения х. Следовательно, все весовые функции

стационарной линейной системы являются функциями разности своих двух аргументов и не зависят от этих аргументов по отдельности:

Таким образом, весовые функции стационарной линейной системы являются функциями одной переменной, что значительно упрощает исследование стационарных линейных систем по сравнению с нестационарными. Докажем, что характеристика реакции стационарной линейной системы на показательное возмущение постоянна, т. е. не зависит от времени. Действительно, на основании (87.1) формула (86.5), определяющая характеристику реакции линейной системы на показательное возмущение, принимает для стационарной линейной системы вид:

или, после замены переменных,

Правая часть этой формулы не зависит от времени Следовательно, и левая ее часть не зависит от времени. Поэтому функции являются передаточными функциями стационарной линейной системы и формула (87.3) может быть переписана в виде:

Таким образом, семейство показательных функций при любых комплексных значениях параметра является семейством инвариантных функций для любой стационарной линейной системы, а ее характеристики реакции на показательные возмущения являются передаточными функциями. Факт существования семейства инвариантных функций, общего для всех стационарных линейных систем, позволяет применить для исследования стационарных линейных систем методы, основанные на рассмотренных в предыдущем параграфе свойствах передаточных функций. На этой основе был создан метод частотных характеристик, являющийся в настоящее время одним из наиболее эффективных методов исследования стационарных линейных систем. Графические методы определения логарифмических частотных характеристик стационарных линейных систем были распространены В. К. Крапивиным на случай определения значений передаточных функций линейных стационарных систем на прямых, параллельных мнимой оси в плоскости параметра X [34].

Формула (86.14) показывает, что результат последовательного соединения линейных систем, имеющих общее семейство инвариантных функций, не зависит от порядка их соединения. В частности, результат последовательного соединения стационарных линейных систем не зависит от порядка их соединения.

Применяя формулы (86.8) к стационарной линейной системе, выразим ее весовые функции через соответствующие передаточные функции:

Передаточные функции стационарной линейной системы легко определяются аналитически в случае, когда поведение системы описывается дифференциальными уравнениями. Рассмотрим общий случай многомерной стационарной линейной системы, поведение которой описывается системой уравнений (85.32). Для удобства мы перепишем уравнения (85.32) в виде:

показав в явной форме, что являются полиномами относительно оператора дифференцирования по времени Полагая в (87.6)

и принимая во внимание, что при этом

получим для определения передаточных функций соответствующих входу, систему линейных алгебраических уравнений

Решая эту систему уравнений, получим:

где определитель системы уравнений (87.9), элементами которого являются полиномы а алгебраическое дополнение элемента в этом определителе.

Формула (87.10) показывает, что передаточные функции стационарной линейной системы, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями, являются дробно-рациональными функциями. А так как передаточные функции не зависят от времени, то они всегда могут быть представлены в виде отношений полиномов с постоянными коэффициентами:

Отсюда следует, что выходные переменные рассматриваемой системы связаны со входными возмущениями линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами:

Таким образом, если поведение стационарной линейной системы описывается дифференциальными уравнениями, то или коэффициенты этих уравнений постоянны, или эти уравнения приводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами без замены выходных переменных и входных возмущений.

Легко видеть, что любая система, поведение которой описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, является стационарной линейной системой. Таким образом, в классе линейных систем, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями, подкласс стационарных систем совпадает с подклассом систем, описываемых уравнениями с постоянными коэффициентами.

Из определения (83.24) сопряженного линейного дифференциального оператора следует, что в случае, когда все коэффициенты постоянны,

Таким образом, для того чтобы найти линейный дифференциальный оператор, сопряженный с данным линейным дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами, достаточно изменить знаки у коэффициентов при производных нечетных порядков.

Так как линейно независимые интегралы системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами всегда выражаются через показательные функции или произведения показательных функций и полиномов, то весовые функции стационарной линейной системы, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями, всегда можно выразить аналитически в виде линейной комбинации показательных функций или произведений показательных функций и полиномов. Рассмотрим подробнее случай одномерной стационарной линейной системы, поведение которой описывается

уравнением с постоянными коэффициентами

Пусть корни полинома которые для простоты мы будем предполагать различными. Тогда функции

являются линейно независимыми интегралами однородного уравнения (84.3). Следовательно, определитель Вронского в знаменателе формулы (84.12) для весовой функции в данном случае равен:

Определитель Вронского в числителе формулы отличается от определителя в знаменателе только тем, что в нем отсутствуют столбец и строка. Следовательно, для вычисления этого определителя достаточно вычеркнуть из правой части формулы (87.16) множитель и все множители типа содержащие а множитель заменить множителем Следовательно,

Но, дифференцируя формулу

и полагая после этого получаем:

На основании формул (87.15), (87.17) и (87.19) формула (84.12) принимает в данном случае вид:

Аналогично можно определить весовую функцию в случае, когда полином имеет кратные корни.

Теперь для определения весовой функции системы, поведение которой описывается уравнением с постоянными коэффициентами (87.14), остается применить формулу (84.21). Тогда, принимая во внимание (87.13), получим при

Пример 1. Определить передаточную и весовую функции системы, описываемой уравнением с постоянными коэффициентами:

Полагая в и решая полученное уравнение, находим передаточную функцию системы:

В данном случае Корни этого полинома равны где Следовательно, и формула (87.20) дает для весовой функции системы ранее полученную формулу (84.49).

Пример 2. Определить передаточную и весовую функции системы, описываемой уравнением с постоянными коэффициентами:

Полагая в и решая полученное уравнение, находим передаточную функцию:

Так как в данном случае следовательно, то формула (87.21) дает:

Очевидно, что эта формула является частным случаем ранее полученной формулы (84.51) при

Пример 3. Найти передаточную функцию и частотную характеристику физически невозможной стационарной линейной системы, весовая функция которой при всех их определяется формулой

Найти также весовую функцию обратной системы. Формула (87.4) дает:

Этот интеграл расходится, если Для чисто мнимых значений формула (87.28) принимает вид:

Таким образом, передаточная функция рассматриваемой системы равна бесконечности на всей плоскости комплексной переменной X, кроме мнимой оси, где она определяется формулой (87.29).

Частотная характеристика обратной системы вследствие свойства (86.14) передаточных функций определяется формулой

Таким образом, передаточные функции рассматриваемой системы и обратной системы отличаются друг от друга только знаком. Следовательно, на основании (87.5) и весовая функция обратной системы только знаком отличается от весовой функции данной системы:

На основании (83.3), (87.27) и (87.31) входное возмущение х и выходная переменная у рассматриваемой системы связаны друг с другом формулами:

Взаимно обратные линейные преобразования (87.32) обычно называются преобразованиями Гильберта [78].