ГЛАВА 18. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

§ 138. Определение оптимального оператора в классе приводимых к линейным

В § 106 мы видели, что существует обширный класс нелинейных операторов, приводимых к линейным, к которым полностью применима теория линейных преобразований случайных функций. В частности, методы определения оптимальных линейных операторов, как было отмечено в § 126, полностью применимы к задаче определения оптимального оператора в классе операторов, приводимых к линейным, в первой постановке § 126, когда функции заданы (одни и те же для всех операторов рассматриваемого класса). В этом случае, определив векторную случайную функцию формулой (126.1), мы сведем задачу к уравнениям §§ 124 и 125, методы решения которых были рассмотрены в предыдущей главе.

Равенства

можно рассматривать как частный случай формул (122.9) и (122.10) при в которых

Следовательно, согласно общей теории §§ 124 и 125, для определения оптимальных линейных операторов по критерию минимума средней квадратической ошибки в общем случае векторного

сигнала необходимо найти линейные операторы удовлетворяющие системам уравнений

вычислить величины по формулам (125.15) и решить алгебраические уравнения (124.10), соответствующие различным составляющим сигнала После этого оптимальные операторы определятся формулой (125.14), которая в данном случае принимает вид:

Для решения систем уравнений (138.3) и (138.4) в общем случае можно применить метод канонических разложений, изложенный в § 135. Аналогичные системы уравнений в задаче нахождения оптимальных операторов по критерию экстремума данной функции математического ожидания и дисперсии (корреляционной матрицы в случае векторного сигнала) ошибки также могут быть решены методом канонических разложений. Если система (138.4) не имеет решения, необходимого для определения оптимального оператора, то оптимальные линейные операторы определяются при помощи канонических разложений методом, - изложенным в § 136. Таким образом, метод канонических разложений дает возможность полностью решить задачу определения оптимального оператора по критерию минимума средней квадратической ошибки или по более общему критерию экстремума данной функции математического ожидания и дисперсии (корреляционной матрицы в случае векторного сигнала) ошибки в классе операторов, приводимых к линейным, при фиксированных функциях

Рассмотрим подробнее применение метода канонических разложений к задаче определения оптимального оператора в классе приводимых к линейным, ограничиваясь для простоты случаем скалярною сигнала и линейных интегральных операторов

В этом случае системы уравнений (138.3) и (138.4) представляют собой системы линейных интегральных уравнений типа (125.19),

определяющие весовые функции операторов

Для решения этих систем уравнений представим векторную случайную функцию каким-либо каноническим разложением в области наблюдения

Координатные функции на основании общей теории § 70 определяются формулой

где дисперсии случайных величин функции, удовлетворяющие совместно с функциями условию биортогональности

Определив функции находим по формулам (135.30) и (135.31) величины

Если математическое ожидание векторной случайной функции может быть представлено в области разложением по координатным функциям

то решение систем уравнений (138.7) и (138.8) определяется формулами (135.28) и (135.29), которые дают:

Далее вычисляем по формулам (135.18), (135.19) и (135.20) величины

Для определения величины имеем в данном случае одно уравнение (124.10). Вследствие формул (138.2) и того, что и уравнение (124.10) имеет в данном случае вид:

Решив это уравнение, находим:

Определив по формулам (138.15), (138.16) и (138.19) весовые функции и и величину находим весовые функции оптимального оператора по формуле (125.20), которая дает:

Для определения минимальной средней квадратической ошибки, соответствующей оптимальному оператору, воспользуемся формулой (124.32), которая на основании (124.9) и (138.2) дает:

Перейдем теперь к случаю, когда математическое ожидание векторной случайной функции не выражается разложением (138.14). В этом случае определяем составляющие векторной функции формулой (136.20), которая вследствие (138.2) принимает вид:

После этого определяем векторную функцию удовлетворяющую одному условию (136.19), которое в данном случае имеет вид:

Очевидно, что этому условию удовлетворяет функция

Далее находим по формуле (136.22) весовые функции линейного оператора удовлетворяющего однородному уравнению (124.15):

где коэффициенты определяются формулой (136.23), которая в данном случае дает:

Теперь остается только определить по формуле (124.23) величину На основании (124.9) и (138.2) формула (124.23) дает:

Определив весовые функции найдем весовые функции оптимального оператора по формуле (125.22), которая в данном случае имеет вид:

Наконец, минимальная средняя квадратическая ошибка, соответствующая оптимальному оператору, определяется на основании изложенного в § 124 формулой (124.32) при Таким образом, в случае, когда математическое ожидание векторной случайной функции не выражается разложением (138.14), минимальная средняя квадратическая ошибка, соответствующая оптимальному оператору выражается формулой

В случае определения оптимального оператора по критерию экстремума данной функции математического ожидания и дисперсии ошибки (для скалярного сигнала согласно общей теории математическому ожиданию добавится неопределенный параметр Соответственно этому в правых частях уравнения (138.18)

и формулы (138.27) и в числителе дроби в формуле (138.19) добавится слагаемое Определив по видоизмененным таким образом формулам (138.19) и (138.20) или (138.27) и (138.28) весовые функции оператора А как функции параметра можно найти значение параметра соответствующее оптимальному оператору, одним из двух способов, изложенных в § 121. В случае, когда математическое ожидание векторной случайной функции выражается разложением (138.14), математическое ожидание и момент второго порядка ошибки определяются формулами (124.38) и (124.36), которые в данном случае принимают вследствие (124.9) и (138.2) вид:

В случае, когда математическое ожидание векторной случайной функции не может быть представлено разложением (138.14), величины определяются соответственно формулами (124.40) и (124.39), которые вследствие (124.9), (138.2) и (138.27) принимают вид: