ГЛАВА 17. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

§ 127. Определение оптимальной одномерной линейной системы в случае белого шума на входе

Интегральное уравнение (125.7), к которому приводится задача определения весовой функции оптимальной одномерной линейной системы, легко решается, если случайная функция X представляет собой белый шум. Действительно, в этом случае

Подставляя это выражение в уравнение (125.7) и выполняя интегрирование, получим:

Отсюда находим:

Полагая в этой формуле последовательно найдем весовые функции Далее по формуле (125.8) определим коэффициенты После этого, решив систему уравнений (124.10) или (124.14), найдем величины и определим искомую весовую функцию оптимальной линейной системы по формуле (125.3). Таким образом, если случайная функция X является белым шумом, то весовая функция оптимальной одномерной линейной системы находится элементарными алгебраическими действиями.

Для иллюстрации полученного решения рассмотрим простейший случай системы, которая должна отфильтровывать сигнал, представляющий собой известную функцию времени со случайным коэффициентом, от белого шума с единичной интенсивностью. В этом случае наблюдаемая функция и сигнал выражаются формулами

где случайная величина, - известная функция, -белый шум. Согласно изложенному в §§ 122, 124 и 125 для определения весовой функции оптимальной системы в этом случае необходимо решить одно интегральное уравнение (125.7) для определить единственный коэффициент по формуле (125.8) и найти путем решения одного алгебраического уравнения (124.10). Так как помеха X представляет собой белый шум с единичной интенсивностью, то решение интегрального уравнения (125.7) выражается в данном случае формулой (127.3), в которой следует положить Тогда весовая функция оптимальной системы определится формулой

где

При умножении наблюдаемой функции на весовую функцию оптимальной системы функция возведется в квадрат, вследствие чего при последующем интегрировании произойдет накопление полезного сигнала за время наблюдения При интегрировании же произведения весовой функции на белый шум X части интеграла, соответствующие различным знакам подынтегральной функции, будут взаимно компенсироваться, вследствие чего помеха на выходе системы будет накапливаться значительно медленнее, чем полезный сигнал. Для более точной оценки фильтрующих свойств оптимальной системы вычислим дисперсию помехи на выходе этой системы. Пользуясь формулой (54.7), убеждаемся в том, что дисперсия помехи на выходе системы равна в то время как полезная часть выходного сигнала равна Если за отношение сигнала к помехе на выходе системы принять отношение полезной части выходного сигнала к среднему квадратическому отклонению помехи, то это отношение будет равно Таким образом, отношение сигнала к помехе на выходе оптимальной системы растет пропорционально величине с увеличением времени наблюдения

В рассматриваемом простейшем случае весовая функция оптимального фильтра может быть найдена чисто умозрительно. Если форма сигнала полностью известна, то совершенно естественна мысль умножить наблюдаемую функцию на функцию, пропорциональную сигналу, и интегрировать результат для обеспечения накопления сигнала и увеличения отношения сигнала к помехе. Таким образом, мы сразу приходим к формуле (127.5) для весовой функции оптимального фильтра. И только для определения коэффициента пропорциональности X, придется использовать условие минимума средней

квадратической ошибки Однако в случае более сложной структуры сигнала весовая функция оптимального линейного фильтра уже не может быть найдена так просто, без применения теории оптимальных систем.

Точно так же система алгебраических уравнений (125.10), определяющая оптимальную импульсную линейную систему, легко решается в случае, когда значения случайной функции X, соответствующие значениям аргумента не коррелированы, т. е. когда случайные импульсы на входе системы не коррелированы. В этом случае

и система уравнений (125.10) распадается на отдельные уравнения

Рвшая эти уравнения, находим:

Полагая здесь последовательно найдем величины Далее по формуле (125.12) найдем коэффициенты решив систему уравнений (124.10) или (124.14), найдем величины После этого коэффициенты для искомой оптимальной импульсной системы определятся по формуле (125.11).

Полученные результаты дают следующую идею общего метода определения оптимальной линейной системы. Если найти такую линейную систему, которая преобразует данную случайную функцию X в белый шум или в последовательность некоррелированных случайных величин, и после этого найти оптимальную линейную систему для случая белого шума или последовательности некоррелированных импульсов на входе, то последовательное соединение этих двух линейных систем и будет оптимальной линейной системой для данной случайной функции X на входе. Но преобразование произвольной случайной функции в белый шум дается теорией интегральных канонических представлений случайных функций, а преобразование произвольной случайной функции в последовательность некоррелированных случайных величин дается теорией канонических разложений. Следовательно, общее решение уравнений типа (125.2) принципиально может быть получено путем применения теории канонических представлений случайных функций. При этом во всех случаях, когда можно будет найти интегральное каноническое представление случайной функции X, мы получим решение уравнения (125.2) или более

общего уравнения (124.4) в конечной форме. Выразив случайную функцию X каноническим разложением, мы получим решение уравнения (125.2) или (124.4) в форме рялд. А так как каноническое разложение, как было показано в главе 9, всегда может быть найдено для любой случайной функции, то метод канонических разложений всегда позволит найти решение уравнения (124.4). Таким образом, теоретической основой для решения уравнений вида (124.4) является метод канонических представлений случайных функций. При этом даже в тех случаях, когда окажется невозможным найти интегральное каноническое представление случайной функции X и получить точное решение уравнения (124.4) в конечной форме, метод канонических представлений всегда даст решение этого уравнения в форме ряда, которым можно пользоваться для приближенных практических расчетов.

В следующих параграфах этой главы мы изложим методы определения оптимальных линейных систем, основываясь на сформулированной общей идее. При этом для наглядности мы начнем с простейшего случая одномерной линейной системы и рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (125.7), встречающиеся при определении оптимальных одномерных линейных систем. После этого перейдем к формальному применению метода канонических представлений случайных функций для нахождения решения уравнения (124.4) в общем случае.

Заметим, что формулу (127.3), дающую точное решение интегрального уравнения (125.7), если случайная функция X является белым шумом, можно использовать для приближенного решения уравнения (125.7) и тогда, когда случ айная функция X не является белым шумом, но близка к белому шуму. А именно, предположим, что корреляционную функцию можно считать практически равной нулю при где величина, малая по сравнению с интервалом наблюдения Тогда, если функция мало изменяется при изменении в любом подынтервале длины интервала наблюдения, то при функция определяемая формулой (127.3), где

является приближенным решением уравнения (125.7). В этом можно убедиться непосредственной подстановкой выражения (127.3) в уравнение (125.7). При подынтегральная функция в (125.7) практически равна нулю вне интервала и функцию можно вынести за знак интеграла ее значением в середине этого интервала если она мало изменяется в любом интервале длины Тогда в силу формулы (127.10) уравнение (125.7) обратится в тождество. Таким образом, если функцию можно

считать приблизительно постоянной в любом интервале изменения в котором корреляционная функция заметно отличается от нуля, то формула (127.3) дает приближенное решение уравнения (125.7) во всех точках внутри интервала наблюдения кроме точек, близких к его концам

Отмеченное обстоятельство дает возможность находить приближенное решение уравнения (125.7) в тех случаях, когда не удается найти точное интегральное каноническое представление случайной функции но можно найти линейную систему, преобразующую случайную функцию X в случайную функцию, имеющую малый по сравнению с интервалом наблюдения «интервал корреляции» Определив олтимальную линейную систему для этой входной случайной функции с малым интервалом корреляции при помощи формулы (127.3) и соединив ее последовательно с системой, преобразующей случайную функцию X, мы и получим приближенную оптимальную систему для входной случайной функции Это замечание показывает, насколько важно практики уметь находить такие линейные преобразования случайных функций, которые сокращают интервалы корреляции до достаточно малых величин.

Заметим еще, что если функция значительно изменяется при изменении в малом интервале корреляции то решение уравнения (125.7) можно аппроксимировать отрезком ряда Тейлора с центром в точке х. Тогда уравнение (125.7) заменится приближенным линейным дифференциальным уравнением, определяющим весовую функцию Этот прием во многих случаях существенно упрощает приближенное определение оптимальных линейных систем.

Пример. Определить оптимальную линейную систему для экстраполяции сигнала, представляющего собой линейную функцию времени, на величину А по результатам ее наблюдения в интервале времени пользуясь критерием минимума средней квадратической ошибки, предполагая, что помеха является стационарным белым шумом, скорость изменения сигнала имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию а его начальное значение может быть произвольным.

В данном случае полезным сигналом является линейная функция где -случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией Этот сигнал вместе с помехой X наблюдается в интервале времени и по результатам этого наблюдения система должна воспроизвести его значение в момент времени 5 А. Следовательно, наблюдаемая случайная функция и сигнал определяются в данном случае формулами

Таким образом, в данном случае и функции и выражаются формулами

Так как нерегулярная часть сигнала в данном случае отсутствует (т. е. тождественно равна нулю), то и весовая функция тождественно равна нулю. Полагая в формуле найдем функции и

Подставляя эти выражения и выражения (127.12) функций в формулу (125.8), найдем величины

Так как по условию задачи на основании формул (122.28), (122.32) и Следовательно, уравнения (124.10) имеют в данном случае вид:

Решая эти уравнения, находим:

Подставляя выражения (127.13) и (127.16) в формулу (125.3), находим искомую весовую функцию оптимальной линейной системы:

Подставляя найденные выражения величин формулу (124.32) и принимая во внимание, что в данном случае находим среднюю квадратическую ошибку оптимальной линейной системы: