§ 49. Математическое ожидание и корреляционная функция случайной функции. Взаимная корреляционная функция двух случайных функций

Законы распределения различных чисел измерений случайной функции могут служить в качестве более или менее полных характеристик случайной функции. Однако для практических приложений характеристика случайной функции при помощи конечномерных законов распределения часто оказывается чересчур сложной. Поэтому в приложениях приходится пользоваться более простыми, но зато и более бедными характеристиками случайных функций, аналогичными числовым характеристикам случайных величин. В главе 3 мы видели, что операции с простейшими числовыми характеристиками случайных величин — их математическими ожиданиями, дисперсиями и корреляционными моментами — представляют собой несравненно более простой математический аппарат, чем операции с законами распределения. Обобщение этого аппарата на случайные функции дает простейший возможный математический аппарат для исследования случайных функций.

Математическим ожиданием случайной функции называется такая функция значение которой при каждом данном

эначении аргумента равно математическому ожиданию значения случайной функции X при этом

Математическое ожидание случайной функции представляет собой некоторую среднюю функцию, около которой группируются и относительно которой колеблются все возможные реализации случайной функции (рис. 19).

Рис. 19.

Для того чтобы найти математическое ожидание действительной случайной функции, необходимо задать ее одномерный закон распределения. Математическое ожидание действительной случайной функции согласно (10.2), выражается через ее одномерную плотность вероятности формулой

В приложениях часто бывает удобно рассматривать комплексные случайные функции. Более того, действительные случайные функции часто бывает удобно выражать в комплексной форме, например в виде суммы комплексных слагаемых. Согласно определению (19.3) математического ожидания комплексной случайной величины, математическое ожидание комплексной случайной функции

определится формулой

В качестве меры рассеивания значений случайной функции можно принять ее дисперсию. Дисперсия случайной функции есть такая

функция, значение которой при каждом данном значении аргумента равно дисперсии значения случайной функции при этом значении аргумента. На основании определения (10.6) дисперсия действительной случайной функции выражается через ее одномерную плотность вероятности формулой

Как и в случае случайных векторов, для характеристики разброса случайной функции недостаточно знать дисперсии ее значений при всех значениях аргумента.

Рис. 20.

Рис. 21.

Для иллюстрации на рис. 20 и 21 приведены кривые возможных реализаций для двух случайных функций, имеющих одинаковые математические ожидания и дисперсии. Мы видим, что характер изменения реализаций этих двух случайных функций совершенно различен. В первом случае зависимость между

значениями случайной функции, соответствующими двум данным значениям аргумента значительно слабее, чем во втором случае. Если бы нам пришлось эти две случайные функции дифференцировать или интегрировать или, в более общем случае, производить над ними какое-либо линейное преобразование, то результат в двух рассматриваемых случаях был бы совершенно различным, несмотря на совпадение математических ожиданий и дисперсий. Для того чтобы учесть связь между значениями случайной функции при различных значениях аргумента или, иными словами, степень изменчивости случайной функции при изменении аргумента, необходимо задать, кроме дисперсии, корреляционные моменты значений случайной функции, соответствующих всем возможным парам значений аргумента.

Корреляционный момент значений случайной функции X является, очевидно, функцией двух независимых переменных Эту функцию обычно называют корреляционной (иногда автокорреляционной) функцией случайной функции Корреляционную функцию мы будем обозначать буквой К с индексом, указывающим, к какой случайной функции она относится. Так, например, корреляционную функцию случайной функции будем обозначать

Согласно общему определению корреляционного момента (20.5), определение корреляционной функции случайной функции можно записать в виде:

или короче

где в соответствии с общим условием § 18 через обозначено отклонение случайной функции от ее математического ожидания:

В дальнейшем мы везде будем отмечать ноликом вверху отклонения соответствующих случайных функций от их математических ожиданий, т. е. центрированные случайные функции.

Корреляционная функция действительной случайной функции на основании (17.6) выражается через ее двумерную плотность вероятности формулой

Легко видеть, что дисперсия случайной функции может быть определена как значение корреляционной функции при равных значениях ее двух аргументов. Действительно, полагая в и сравнивая результат с определением дисперсии (49.5), находим:

Таким образом, понятие корреляционной функции случайной функции охватывает и понятие ее дисперсии.

Так как при значения случайной функции совпадают, то ее двумерная плотность вероятности на основании формулы (33.2) для плотности вероятности двух случайных величин, связанных функциональной зависимостью, выразится при формулой

Полагая в принимая во внимание (49.10) и (49.11) и выполняя интегрирование по получим формулу (49.5) как предельный случай формулы (49.9) при

Взаимной корреляционной функцией или корреляционной функцией связи двух случайных функций и называется корреляционный момент значений этих функций при произвольно взятых значениях их аргументов

Формула (49.12) определяет, в частности, взаимную корреляционную функцию двух случайных функций одного и того же аргумента В этом случае в (49.12) представляют собой независимые переменные, изменяющиеся в одной и той же области.

Случайные функции называются коррелированными, если их взаимная корреляционная функция не равна тождественно нулю. Случайные функции, взаимная корреляционная функция которых тождественно равна нулю, называются некоррелированными.

Если в частном случае представляет собой не случайную функцию, а случайную величину (т. е. если 5 является постоянной или все возможные реализации случайной функции являются постоянными), то формула (49.12) определяет взаимную корреляционную функцию случайной функции и случайной величины К, которая, очевидно, является функцией

Взаимная корреляционная функция двух действительных случайных функций на основании (17.6) выражается через их совместную двумерную плотность вероятности формулой

Применяя формулу (20.7), можно выразить корреляционную функцию комплексной случайной функции через корреляционные функции и взаимные корреляционные функции ее действительной и мнимой частей

Аналогично можно выразить взаимную корреляционную функцию двух комплексных случайных функций через взаимные корреляционные функции их действительных и мнимых частей:

Математическое ожидание и корреляционная функция являются значительно менее полными характеристиками случайной функции, чем ее конечномерные законы распределения. Однако во многих практически важных случаях математическое ожидание и корреляционная функция полностью определяют закон распределения случайной функции. Так, например, если случайная функция распределена нормально, то знание ее математического ожидания и корреляционной функции дает возможность определить математические ожидания, дисперсии и корреляционные моменты случайных величин при любом и при любых а этого достаточно, чтобы определить -мерную плотность вероятности случайной функции X при любом .

В некоторых случаях бывает удобно пользоваться вместо корреляционных функций нормированными корреляционными функциями случайных функций. Нормированной корреляционной функцией случайной функции называется коэффициент корреляции ее значений при различных значениях аргумента. На основании определения коэффициента корреляции (17.7) и формулы (49.10) нормированная корреляционная функция случайной функции определяется формулой

Совершенно аналогично нормированной взаимной корреляционной функцией двух случайных функций и называется коэффициент корреляции их значений при произвольных значениях их аргументов:

Уточним теперь данное в предыдущем параграфе определение белого шума. Белым шумом мы будем называть случайную функцию, математическое ожидание которой тождественно равно нулю, а корреляционная функция содержит множителем -функцию разности аргументов:

Множитель характеризует интенсивность белого шума, вследствие чего мы будем называть его интенсивтостью белого шума.

Характеристика случайных функций при помощи их математических ожиданий, корреляционных функций и моментов высших порядков была введена . Слуцким, которому принадлежат большие заслуги в создании теории случайных функций и формировании ее понятий [71, 72, 73].

Пример 1. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайного процесса с независимыми приращениями, рассмотренного в примере 1 предыдущего параграфа.

Формула (48.17) для одномерной плотности вероятности рассматриваемой случайной функции показывает, что ее математическое ожидание тождественно равно нулю. Сравнивая формулу (48.19) при с (22.1) и пользуясь формулой (22.9) для корреляционного момента нормально распределенных случайных величин, находим корреляционную функцию рассматриваемой случайной функции:

Пример 2. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию флуктуаций напряжения на выходе электрической цепи с электронной лампой (дробового эффекта).

Математическое ожидание и корреляционная функция могут быть в данном случае вычислены совершенно так же, как было вычислено математическое ожидание в формуле (48.21). Однако эта задача решается значительно проще, если воспользоваться выведенной в примере 2 предыдущего параграфа формулой (48.27) для характеристической функции. Полагая в и определив коэффициенты при в разложении двумерной характеристической функции рассматриваемой случайной функции в ряд Маклорена, получим на основании (29.3) и (20.31):

В частном случае, когда рассматриваемая электрическая цепь представляет собой цепочку а средняя плотность импульсов постоянна,

и формулы (49.20) и (49.21) принимают вид:

В качестве другого частного случая рассмотрим флуктуации напряжения на входе рассматриваемой цепи при произвольной зависимости средней плотности импульсов от времени Для определения математического ожидания и корреляционной функции флуктуаций напряжения на входе цепи с электронной лампой достаточно положить в формулах (49.20) и Тогда получим:

В данном случае центрированная случайная функция на входе цепи представляет собой белый шум с переменной интенсивностью

Если в формуле (49.24) перейти к пределу при то получим в правой части с точностью до постоянного множителя -функцию. Таким образом, центрированная случайная функция X на выходе -цепочки стремится в пределе к белому шуму, если постоянная времени стремится к нулю.

Вообще белый шум можно получить предельным переходом из любой случайной функции X, корреляционная функция которой убывает достаточно быстро с увеличением модуля разности А именно, если

то случайная функция корреляционная функция которой определяется формулой

в пределе при переходит в белый шум. Действительно, при любых при вследствие условия (49.27). Дисперсия случайной функции У при любом стремится к таким образом, что интеграл

при Следовательно,

где

Пример 3. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию действительной ступенчатой случайной функции времени которая скачком изменяет свое значение в случайные независимые друг от друга моменты времени, а в промежутках между этими моментами времени сохраняет неизменные значения, представляющие собой независимые случайные величины, имеющие равные нулю математические ожидания и одну и ту же Дисперсию

По определению корреляционная функция случайной функции X равна:

Для вычисления математического ожидания в этой формуле введем вспомогательную случайную величину У, принимающую значение 0, если в интервале времени случайная функция X постоянна, и значение 1, если в интервале есть хотя бы одна точка изменения значения случайной функции Согласно результатам § 12 число точек изменения значения случайной функции X, попадающих в интервал распределено по закону Пуассона. Поэтому, обозначая через а математическое ожидание числа точек изменения значения случайной функции X в течение единицы времени и применяя формулу (12.22), найдем вероятности значений и 1 случайной величины

Следовательно, плотность вероятности случайной величины К, согласно формуле (9.23), будет равна:

Применяя для вычисления математического ожидания в (49.31) формулу (17.9) получим:

Остается вычислить входящие в эту формулу условные математические ожидания. Значения и случайной функции X равны друг другу в том случае, когда случайная величина У принимает значение 0, и являются независимыми случайными величинами в том случае, когда случайная величина У принимает значение 1. Следовательно,

Подставляя эти значения в (49.34), получим:

Сравнивая эту формулу с (49.24), видим, что одну и ту же корреляционную функцию могут иметь совершенно различные случайные функции с различным характером возможных реализаций. Действительно, формулы (48.20) и (49.22) показывают, что реализации случайной функции предыдущего примера, хотя и имеют разрывы в моменты действия импульсов, но ни в каком промежутке времени не сохраняют постоянное значение, в то время как реализации случайной функции этого примера являются ступенчатыми функциями, сохраняющими постоянное значение между двумя последовательными моментами разрыва. Далее, быстрота убывания показательной функции в (49.24) определяется исключительно постоянной времени цепочки и совершенно не зависит от средней частоты импульсов. В формуле (49.36) быстрота убывания показательной функции полностью определяется средней частотой импульсов. Это сравнение иллюстрирует высказанное выше утверждение, что корреляционная функция является весьма неполной характеристикой случайной функции.

Полагая в и переходя к пределу при а получим белый шум как непрерывную бесконечно плотную последовательность бесконечно малых импульсов. Интенсивность каждого импульса бесконечно мала,

так как она измеряется произведением средней длительности импульса на его среднюю силу В предыдущем примере белый шум на входе цепи представляет собой дискретную последовательность импульсов, каждый из которых имеет конечную среднюю величину. Таким образом, понятию белого шума соответствуют различные физические и математические модели.

Пример 4. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции

где — данная функция, случайный параметр, скалярный или векторный, плотность вероятности которого равна На основании формулы (30.4) имеем:

Если функция является линейной относительно параметра А или его составляющих:

То для определения математического ожидания и корреляционной функции случайной функции нет надобности знать закон распределения параметра А, а достаточно знать его математическое ожидание, составляющие которого мы обозначим через и корреляционную матрицу (дисперсию, если параметр А скалярный), элементы которой мы обозначим через В этом случае, применяя формулы (19.13) и (20.23), получим: