§ 13. Приближенное аналитическое представление законов распределения

В приложениях часто требуется приближенно представить плотность вероятности или функцию распределения случайной величины подходящим аналитическим выражением, зная некоторые числовые характеристики этой величины. Эта задача, конечно, может быть решена различными способами. В частности, Пирсон предложил для приближенного представления плотностей вероятности систему кривых, каждая из которых полностью определяется первыми четырьмя моментами случайной величины [32, 79]. Другая система кривых для приближенного представления законов распределения, основанная на анализе причин отклонения от нормального закона в производстве, предложена Н. А. Бородачевым [71. Третий способ приближенного

представления законов распределения основан на разложении их в ряды по соответствующим системам функций. Этот способ приближенного представления законов распределения мы здесь изложим.

Пусть плотность вероятности, которую требуется представить аналитическим выражением, некоторая «эталонная» плотность вероятности, система полиномов, ортонормированных относительно распределения т. е. удовлетворяющих условиям

где величина, равная единице при и нулю при а Система полиномов удовлетворяющих условию (13.1), легко может быть найдена, если взять в качестве исходной системы функций систему степенных функций и подвергнуть ее ортогонализации (см. Дополнение, II). При этом будет полиномом степени вследствие (8.7) будет равно единице:

Попытаемся найти формальное разложение плотности вероятности в ряд вида:

Для определения коэффициентов умножим формулу (13.3) на и проинтегрируем результат от до Тогда, принимая во внимание (13.1), получим:

Подставляя сюда выражения (13.2) полиномов будем иметь:

где момент порядка случайной величины X, характеризуемой плотностью вероятности Таким образом, все коэффициенты ряда (13.3) легко определяются, если известны моменты случайной величины При этом, конечно, необходимо существование конечных моментов всех порядков.

Ряд (13.3) при некоторых условиях сходится к следовательно, может служить для аналитического представления с любой степенью точности [32]. Однако сходимость или расходимость ряда (13.3) не имеет практического значения. Важно лишь,

чтобы плотность вероятности могла быть с достаточной точностью представлена с помощью небольшого числа (обычно двух-трех) членов ряда (13.3). Кроме того, обычно бывают более или менее точно известными только несколько первых моментов случайной величины, а относительно моментов высших порядков мы не знаем даже, существуют ли они. Поэтому разложением (13.3) пользуются, не интересуясь вопросом о его сходимости. Практика показывает, что большинство встречающихся в приложениях распределений удается с достаточной точностью представить разложением (13.3), так же как и кривыми Пирсона.

Перед тем как представлять плотность вероятности случайной величины X разложением (13.3), удобно предварительно нормировать ее, т. е. заменить случайной величиной Эта случайная величина имеет математическое ожидание, равное нулю, дисперсию, равную единице, и тот же закон распределения, что и величина X (см. § 32). Следовательно, для нормированной случайной величины и формулы (13.5) примут вид:

Разложение (13.3) можно строить на основе различных «эталонных» функций Выбор «эталонной» плотности вероятности в значительной мере определяется характером функции От удачного выбора зависит простота и точность представления плотности вероятности отрезком разложения (13.3). Для непрерывных величин широкое распространение получило разложение (13.3), основанное на нормальном распределении которое для нормированной случайной величины в силу (11.6) имеет

При этом полиномы выражаются формулой

где полиномы Эрмита:

и вообще

В этом случае формулы (13.6) дают для первых семи коэффициентов выражения:

и ряд (13.3) принимает вид:

Вследствие того, что

где функция, определяемая формулой (11.8), формулу (13.12) можно также представить в виде:

Это разложение обычно называется рядом Грама — Шарлье.

Так как для любой случайной величины X момент порядка соответствующей нормированной величины равен где центральный момент порядка величины X, а — ее среднее квадратическое отклонение (см. § 32), то для произвольной случайной величины X, имеющей среднее квадратическое отклонение о и математическое ожидание, отличное от нуля, величины в формулах (13.6) и (13.11) должны быть заменены соответствующими величинами В результате формулы (13.11) примут вид:

Величины

от которых зависят коэффициенты обычно называются соответственно коэффициентом асимметрии и коэффициентом эксцесса распределения Для нормального распределения

вследствие формул (11.2) и (11.5) коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю. Поэтому коэффициентами асимметрии и эксцесса обычно пользуются для характеристики отклонения распределения от нормального.

Разложением (13.3) можно представлять законы распределения любых случайных величин, как непрерывных, так и прерывных и смешанных. При этом, конечно, для получения хорошего приближения необходимо взять соответствующее «эталонное» распределение Для приближенного аналитического представления функций распределения смешанных случайных величин, имеющих две точки разрыва, Ю. Г. Мильграм предложил другой способ, состоящий в том, что функция распределения выражается на участке ее непрерывности полиномом, коэффициенты которого определяются по данным скачкам функции распределения и первым нескольким моментам [39].

Пример. Представить рядом Грама — Шарлье плотность вероятности равномерно распределенной случайной величины.

Нормируя случайную величину, на основании (10.18) и (10.20) получим

Рис. 8.

Вычислив для этого случая моменты случайной величины по формулам (10.18) и коэффициенты по формулам (13.11), получим разложение (13.14) в виде:

На рис. 8 показано приближение к постоянной плотности вероятности одним, двумя и тремя членами разложения (13.17) (кривые 1, 2 и 3 соответственно).