§ 70. Канонические разложения векторных случайных функций

Применим теперь к составляющей векторной случайной функции рассматриваемой как случайная функция аргумента и номера теорию канонических разложений. Для этого достаточно во всех формулах предыдущей главы заменить аргумент совокупностью аргумента и номера составляющей векторной случайной функции Тогда формула (56.1) даст каноническое разложение векторной случайной функции X:

а формула (57.5), определяющая координатные функции, примет вид:

Таким образом, каноническое разложение векторной случайной функции представляет собой совместное каноническое разложение всех ее составляющих с одними и теми же случайными коэффициентами При этом координатные функции получаются естественно различными для различных составляющих. Совокупность координатные

функций всех составляющих векторной случайной функции X, соответствующих одному и тому же случайному коэффициенту можно рассматривать как векторную координатную функцию векторной случайной функции Следовательно, координатные функции векторной случайной функции, как и ее математическое ожидание, являются векторными функциями.

Заменяя в формуле (56.2) аргумент совокупностью аргумента и номера составляющей векторной случайной функции X и соответственно аргумент совокупностью аргумента и номера получим каноническое разложение корреляционной функции векторной случайной функции X:

Таким образом, каноническое разложение корреляционной функции векторной случайной функции представляет собой совместное каноническое разложение корреляционных функций и взаимных корреляционных функций всех ее составляющих с одними и теми же коэффициентами.

Применяя формулу (57.11) ко всем составляющим векторной случайной функции X, получим формулу для оценки точности представления ее составляющих данным отрезком канонического разложения:

Все рассмотренные в предыдущей главе способы выбора случайных коэффициентов канонического разложения случайной функции очевидно, полностью применимы к векторным случайным функциям. При этом в общем случае коэффициенты канонического разложения будут линейными комбинациями значений всех составляющих векторной случайной функции. В частных случаях некоторые из случайных величин могут быть линейными комбинациями значений части составляющих или даже одной составляющей векторной случайной функции.

Для того чтобы получить общие уравнения и формулы, определяющие каноническое разложение векторной случайной функции, определим линейные функционалы в общей теории § 62, согласно (62.3), формулой

где - любая векторная функция. Тогда формула (62.1) для случайных величин примет вид:

Пользуясь формулой (70.5) и заменяя везде аргумент совокупностью аргумента и номера составляющей соответствующей векторной функции, приведем формулу (62.4), определяющую координатные функции, к виду:

а условия биортогональности (62.5) к виду:

Формулы (62.11), (62.12), (62.16), (62.9) и (62.10) дают следующий способ определения функций координатных функций и дисперсий случайных величин удовлетворяющих уравнениям (70.7) и (70.8). Взяв произвольную систему векторных функций полагаем после чего все функции и величины последовательно определятся по формулам:

Практические способы построения канонического разложения, изложенные в §§ 61, 65 и 66 также применимы к векторным случайным функциям. Для этого достаточно заменить во всех формулах §§ 61, 65 и 66 аргумент совокупностью аргумента и номера составляющей векторной случайной функции X (соответственно аргумент совокупностью аргумента и номера а интегралы — суммами интегралов по соответствующей переменной, распространяя суммирование на все значения номера составляющей соответствующей векторной функции.

Согласно общей теореме § 63 из канонического разложения (70.3) корреляционной функции векторной случайной функции X вытекает каноническое разложение (70.1) векторной случайной функции Поэтому для практики имеют значение способы построения канонических разложений корреляционных функций векторных случайных функций. Каноническое разложение корреляционной функции векторной случайной функции скалярного аргумента может быть найдено следующим способом, представляющим собой обобщение второго способа § 64. Разложив корреляционные функции и все взаимные корреляционные функции составляющих векторной случайной функции X в ряд Фурье:

замечаем, что на основании свойства симметрии (69.6) корреляционной функции векторной случайной функции коэффициенты а рядов (70.11) связаны соотношением

и, следовательно, могут быть представлены формулой

Подставляя это выражение в (70.11), получим каноническое разложение корреляционной функции векторной случайной функции X:

координатными функциями которого являются функции:

Для построения канонического разложения векторной случайной функции X можно применить следующий прием. Сначала построить каноническое разложение одной составляющей, например

и определить координатные функции всех составляющих формулой

Тогда корреляционная функция составляющей и ее взаимные корреляционные функции со всеми другими составляющими

определяются формулой

При этом случайные функции

будут некоррелированными со случайной функцией Представив случайную функцию К каноническим разложением, получим каноническое разложение составляющей

Определив координатные функции формулой

получим, как и выше, следующую формулу для корреляционной функции составляющей и ее взаимных корреляционных функций с составляющими

Из этих формул следует, что случайные функции

не коррелированы со случайной функцией К. Поэтому, представив случайную функцию каноническим разложением, получим каноническое разложение составляющей векторной случайной функции Продолжая этот процесс, мы построим по очереди канонические разложения всех составляющих векторной случайной функции При этом векторные координатные функции х будут иметь нулевые первые составляющие, векторные координатные функции будут иметь нулевые первые и вторые составляющие и вообще векторные координатные функции будут иметь нулевые первые составляющих.

Очевидно, что в случае, когда все составляющие векторной случайной функции X не коррелированы, изложенный процесс построения канонического разложения векторной случайной функции даст независимые канонические разложения для всех составляющих векторной случайной функции с различными случайными коэффициентами,