§ 57. Общие формулы для координатных функций

Пусть произвольные некоррелированные случайные величины, имеющие математические ожидания, равные нулю, и дисперсии

Попробуем найти каноническое разложение случайной функции X, коэффициентами которого являются случайные величины Для этого согласно (56.1) следует представить центрированную случайную функцию в виде суммы:

где -неизвестные координатные функции, подлежащие определению. Для определения функций умножим обе части равенства (57.2) на V и применим к полученному таким образом равенству операцию математического ожидания. В результате, получим:

На основании формул (57.1) все слагаемые в правой части равенства (57.3) равны нулю, кроме одного, для которого Это последнее слагаемое равно Следовательно,

откуда находим:

Эта формула определяет координатные функции при данном выборе случайных коэффициентов

Докажем, что выбор функций по формуле (57.5) дает наилучшее приближение случайной функции любым данным числом членов ряда (57.2) при данном выборе случайных коэффициентов Для этого докажем, что математическое ожидание квадрата модуля остаточного члена при данном числе членов ряда (57.2) имеет наименьшее возможное значение при любом если определить координатные функции формулой (57.5). Пусть произвольные функции. Положим

и вычислим математическое ожидание квадрата модуля (дисперсию) остаточного члена:

Отсюда, принимая во внимание (57.1) и (57.4), находим:

Но

Следовательно, формула (57.8) может быть написана в виде:

Отсюда видно, что при любом и любом данном математическое ожидание квадрата модуля остаточного члена в формуле (57.6) будет наименьшим, если принять Итак, мы доказали, что формула (57.6) с отброшенным остаточным членом при любом дает наилучшее приближение случайной функции если взять в качестве функций функции определяемые формулой (57.5).

Формула (57.6) с отброшенным остаточным членом дает приближенное каноническое разложение случайной функции X с координатными функциями Координатные функции определяемые формулой (57.5), на основании доказанного их свойства мы будем называть оптимальными координатными функциями. Полагая в и принимая во внимание определение дисперсии, получим следующую формулу для математического ожидания квадрата модуля остаточного члена канонического разложения с оптимальными координатными функциями:

Очевидно, что с практической точки зрения всегда выгодно применять приближенные канонические разложения с оптимальными координатными функциями. Однако иногда приходится пользоваться и приближенными каноническими разложениями с координатными функциями, отличными от оптимальных.

Формула (57.2) дает формальное каноническое разложение случайной функции с произвольными некоррелированными случайными величинами в качестве коэффициентов. Однако равенство в формуле (57.2) является пока чисто формальным. Остается решить вопрос о том, можно ли выбрать случайные величины так, чтобы ряд в формуле (57.2) в известном смысле сходился и представлял случайную функцию а также указать практические способы выбора случайных величин и определения соответствующих координатных функций х.

Совершенно аналогично определяются координатные функции интегрального канонического представления случайной функции. Пусть произвольный белый шум с интенсивностью На основании (49.18)

Попробуем выразить случайную функцию X через белый шум V интегральным каноническим представлением (56.4). Для определения координатных функций заметим, что на основании (54.9) взаимная корреляционная функция случайной функции X, выраженной формулой (56.4), и белого шума V равна:

Отсюда находим:

Эта формула аналогична формуле (57.5).

Формулы (57.5) и (57.14) показывают, что для того, чтобы было возможно выразить случайную функцию X каноническим разложением (56.1) или интегральным каноническим представлением (56.4), необходимо взять случайные величины или белый шум коррелированные со случайной функцией Если некоторые из величин будут некоррелированными со случайной функцией X, то на основании (57.5) соответствующие члены канонического разложения (56.1) будут тождественно равны нулю и вследствие этого выпадут из разложения.

Формулы (57.5) и (57.14) являются необходимыми условиями возможности канонического представления (56.1) или (56.4) случайной функции X, но не достаточными. В следующих параграфах мы найдем и достаточные условия.