§ 102. Линеаризация уравнений нелинейных систем при помощи канонических разложений

Перейдем теперь к случаю, когда поведение динамической системы описывается системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений

где возмущения являются случайными функциями переменных

Представим векторную случайную функцию X, составляющими которой являются возмущения каким-либо ее каноническим разложением

где математические ожидания и координатные функции являются определенными функциями переменных

некоррелированные случайные величины, математические ожидания которых равны нулю. Если подставить выражения (102.3) в уравнения (102.1), то правые части уравнений (102.1) будут зависеть от случайных величин причем будут вполне определенными (не случайными) функциями величин и параметров В результате интегрирования полученных таким образом уравнений выходные переменные системы выразятся как некоторые вполне определенные функции независимой переменной и случайных параметров Пуеть эти функции (которые остаются пока неизвестными) будут

Эта формула устанавливает обычную функциональную зависимость величин от случайных величин в которую независимая переменная входит, как параметр. Поэтому к уравнениям (102.5) можно применить обычные методы теории функциональных зависимостей между случайными величинами. Если функции рассматриваемые как функции случайных величин достаточно близки к линейным в области практически возможных значений то можно применить обычный метод линеаризации функций случайных величин (§ 31) и заменить точные равенства (102.5) приближенными:

где нуликом внизу у квадратных скобок отмечены значения соответствующих величин при нулевых значениях всех параметров Формула (102.6) дает приближенное каноническое разложение векторной случайной функции К, составляющими которой являются выходные переменные системы Следовательно, определив функции и соответствующие всем возможным значениям функции

мы можем, пользуясь общими формулами (70.1) и (70.3), приближенно определить математические ожидания

а также корреляционные и взаимные корреляционные функции

случайных функций Таким образом, задача приближенного определения математических ожиданий и корреляционных функций случайных функций определяемых системой нелинейных дифференциальных уравнений (102.1), сводится к нахождению функций и их первых частных производных по всем параметрам при нулевых значениях всех параметров Эта задача решается известными способами теории дифференциальных уравнений.

Таким образом, путем применения канонических разложений нам удалось свести задачу приближенного исследования случайных функций, определяемых системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, к применению известных методов теории дифференциальных уравнений.

Для того чтобы определить функции при нулевых значениях параметров следует в уравнениях (102.1) после подстановки в них разложений (102.3) положить Тогда, принимая во внимание, что, согласно (102.8), случайные функции при приближенно равны своим математическим ожиданиям а также учитывая (102.4), получим:

Эти уравнения приближенно определяют математические ожидания случайных функций

Для определения частных производных функций по параметрам следует продифференцировать уравнения (102.1) сполна по Тогда будем иметь:

Учитывая, что зависимость величин от является сложной, на основании (102.3) и (102.4) находим:

Подставляя это выражение в уравнения (102.11), получим:

Для того чтобы определить значения производных при нулевых значениях всех параметров V,, в уравнениях (102.13) следует положить все величины V равными нулю. При этом, согласно формулам (102.3) и (102.6), функции обратятся в а функции и уравнения (102.13) примут вид:

где

Проинтегрировав уравнения (102.10), найдем математические ожидания случайных функций которые будут определенными функциями независимой переменной После этого функции определяемые формулами (102.15), и их частные производные, входящие в уравнения (102.14), а также функции будут известными функциями независимой переменной Следовательно, вводя для краткости обозначения

и принимая во внимание обозначение (102.7), можем переписать систему уравнений (102.14) в виде:

Давая все возможные значения, получим системы уравнений, определяющие значения производных функций по всем параметрам при нулевых значениях этих параметров.

Уравнения (102.10) и (102.17) содержат только вполне определенные функции и поэтому могут быть проинтегрированы обычными методами (точными или приближенными). Проинтегрировав систему уравнений (102.10), найдем функции независимой переменной После этого по формулам (102.16) определятся коэффициенты линейных уравнений (102.17). Проинтегрировав системы линейных уравнений (102.17) для всех возможных значений найдем координатные функции приближенного канонического разложения векторной случайной функции К, которое на основании формул (102.6), (102.7) и (102.8) может быть написано в виде:

Корреляционная функция векторной случайной функции У приближенно определится формулой (102.9). Таким образом, представив векторную случайную функцию Аканоническим разложением (102.3), мы получили систему нелинейных дифференциальных уравнений (102.10) для приближенного определения математических ожиданий случайных функций и системы линейных дифференциальных уравнений с одной и той же матрицей коэффициентов при неизвестных (102.17) для определения координатных функций приближенного канонического разложения (102.18) интеграла системы дифференциальных уравнений (102.1). Проинтегрировав уравнения (102.10) и (102.17), найдем по формуле (102.9) корреляционные и взаимные корреляционные функции случайных функций

Остается решить вопрос о начальных условиях для систем дифференциальных уравнений (102.10) и (102.17). Если начальные условия для системы уравнений (102.1) не случайны:

то на основании формулы (102.18) систему уравнений (102.10), определяющую математические ожидания интегрировать при начальных условиях

а системы уравнений (102.17), определяющие координатные функции следует интегрировать при нулевых начальных условиях:

Если начальные условия для системы уравнений (102.1) случайны:

то можно рассматривать совокупность случайных функций и случайных величин как одну мерную векторную случайную функцию. Это всегда возможно, так как всякую случайную величину можно рассматривать как случайную функцию, значения которой при всех возможных значениях аргументов одинаковы. Представив -мерную векторную случайную функцию, определяемую составляющими каким-либо ее каноническим разложением

получим изложенным выше способом системы дифференциальных уравнений (102.10) и (102.17) для определения математических ожиданий и координатных функций Для определения начальных условий для систем уравнений (102.10) и (102.17) сразним формулу (102.18) при со второй формулой (102.23). Тогда получим начальные условия для системы уравнений (102.10):

и начальные условия для систем уравнений (102.17):

В частном случае, когда случайные начальные условия не коррелированы со случайными функциями случайные величины при помощи метода § 21 могут быть выражены как линейные функции некоррелированных случайных величин имеющих нулевые математические ожидания. При каноническое разложение (102.23) векторной случайной функции X на основании формулы (57.5) не будет содержать случайных величин и будет начинаться с величины В этом случае для систем дифференциальных уравнений (102.17), определяющих координатные функции начальные условия будут иметь вид (102.25), а возмущающие функции в этих уравнениях будут равны нулю вследствие того, что функции в этом случае тождественно равны нулю. Для систем уравнений (102.17), определяющих координатные функции при получим в этом случае нулевые начальные условия (102.21). В случае асимптотической устойчивости рассматриваемой системы функции при значениях достаточно удаленных от практически не зависят от начальных условий. Поэтому, если нас интересуют вероятностные характеристики асимптотически устойчивой динамической системы для моментов времени достаточно удаленных от начального момента то начальные условия для уравнений (102.10) и (102.17)

можно брать произвольно независимо от того, случайны или не случайны начальные условия для системы уравнений (102.1). Этим обстоятельством можно воспользоваться для того, чтобы взять такие интегралы уравнений (102.10) и (102.17), которые наиболее просты и удобны для вычислений.

В соответствии с общим замечанием § 100 производные в (102.6) и (102.7) могут быть заменены отношениями конечных приращений. Тогда получим для координатных функций интеграла системы дифференциальных уравнений (102.1) формулы

где интеграл системы уравнений, полученной из (102.1) подстановкой в нее выражений (102.3) при и при нулевых значениях остальных случайных величин V т. е. интеграл системы уравнений

Эти уравнения имеют совершенно такую же структуру, как и исследуемые уравнения (102.1). Это обстоятельство, как заметил . Доступов, дает некоторые упрощения при вычислении характеристик рассеивания интегралов дифференциальных уравнений при помощи цифровых математических машин [19]. Кроме того, при вычислении координатных функций канонического разложения интегралов систем дифференциальных уравнений вида (102.1) по формуле (102.26) становится не обязательным существование частных производных правых частей уравнений по переменным и существование производных функций по переменным [19].

Изложенный метод дает возможность определить математическое ожидание и корреляционную функцию интеграла системы дифференциальных уравнений (102.1) с необходимой точностью в том случае, когда погрешность приближенных равенств (102.6) достаточно мала в области практически возможных значений случайных величин Выполнение этого условия можно грубо проверить, определив изложенным способом функции подставив выражения (102.3) и (102.6) в уравнения (102.1) и (102.2) и оценив погрешность полученных таким образом равенств для максимальных практически возможных значений случайных величин (в качестве которых, можно взять, например, в случае, когда величины распределены нормально, утроенные средние квадратические отклонения соответствующих величин

Аналогично можно воспользоваться для решения рассматриваемой задачи общим интегральным каноническим представлением (71.8) векторной случайной функции X:

в которое мы временно ввели еще произвольный параметр а. Если подставить выражение (102.28) в уравнения (102.1), то правые части этих уравнений будут функциями величин и параметра а. Поэтому в результате интегрирования уравнений (102.1) мы получим как функции независимой переменной и параметра а:

Линеаризуя обычным способом эти функции относительно параметра а, получим приближенные формулы

где нуликом внизу отмечены значения соответствующих величин при Для определения функций следует после подстановки в уравнения (102.1) выражения (102.28) положить Тогда, полагая получим для определения функций уравнения (102.10). Для определения функций следует продифференцировать уравнения (102.1) сполна по а, имея в виду, что зависимость функций от а дается формулой (102.23). Тогда получим:

Полагая здесь и принимая во внимание, что функции при этом обращаются в а функции получим:

где определяются формулами (102.15). Вводя функции определяемые первыми двумя формулами (102.16), и принимая во внимание, что после определения функций функции становятся известными функциями переменных :

можем переписать систему уравнений (102.32) в виде:

Обозначим через интеграл системы дифференциальных уравнений

Тогда на основании принципа суперпозиции, справедливого для любой системы линейных дифференциальных уравнений, интеграл системы уравнений (102.34) выразится формулой

Подставляя это выражение в формулу (102.30). и полагая получим:

Эта формула дает приближенное интегральное каноническое представление векторной случайной функции У с координатными функциями составляющими которых являются функции Следовательно, на основании общей теории § 71 математические ожидания случайных функций будут приближенно определяться системой уравнений (102.10), а их

корреляционные и взаимные корреляционные функции приближенно определятся формулой

где - интенсивность белого шума

Таким образом, интегральному каноническому представлению векторной случайной функции X (102.28) при соответствует приближенное интегральное каноническое представление (102.37) интеграла системы уравнений (102.1) с координатными функциями определяемыми как функции независимой переменной при каждом данном значении X системой линейных дифференциальных уравнений (102.35).

Если начальные условия для системы уравнений (102.1) не случайны и заданы формулой (102.19), то системы (102.10) и (102.35) следует интегрировать при начальных условиях (102.20) и (102.21) соответственно. Если начальные условия для системы уравнений (102.1) случайны и заданы формулой (102.22), то можно рассматривать совокупность случайных функций и случайных величин как одну -мерную векторную случайную функцию и выразить ее каким-либо интегральным каноническим представлением вида (71.8), которое в данном случае принимает вид:

Тогда, сравнивая формулу (102.37) при со второй формулой (102.39), получим для системы уравнений (102.10) начальные условия (102.24), а для систем уравнений (102.35) — начальные условия

В случае асимптотической устойчивости системы, определяя функции для значений достаточно удаленных от можно не интересоваться начальными условиями и брать такие интегралы систем (102.10) и (102.35), которые более удобны с вычислительной точки зрения.

Предоставляем читателю самостоятельно применить метод канонических представлений случайных функций для линеаризации общей

системы уравнений (101.10), предполагая, что являются случайными функциями величин определяемыми формулой (102.2).

Пример 1. Решить пример предыдущего параграфа методом линеаризации уравнений при помощи канонических разложений.

Воспользуемся каноническим разложением (76.4) стационарной случайной функции X, которое представляет ее в любом интервале времени длительности Так как в данном случае то каноническое разложение (76.4) имеет вид:

Уравнение (102.10), определяющее математическое ожидание случайной функции У, в данном случае имеет вид (101.12). Следовательно, как и в примере предыдущего параграфа, приходим к выводу, что математическое ожидание случайной функции У приближенно равно единице. Так как в данном случае то формулы (102.16) дают и уравнение (102.17) имеет вид:

Интеграл этого уравнения, обращающийся в нуль при определяется формулой

Подставляя это выражение в (102.9) при получаем для дисперсии случайной функции У приближенную формулу

Пример 2. Решить пример предыдущего параграфа, предполагая что входное возмущение X является действительной стационарной случайной функцией времени и выходной переменной системы У и имеет равное нулю математическое ожидание.

Так как уравнение (102.10), как и в предыдущем примере, имеет вид (101.12), то математическое ожидание случайной функции У приближенно равно единице. Для определения дисперсии случайной функции У воспользуемся каноническим разложением (76.4) стационарной случайной функции X, которое в данном случае имеет вид:

Формула (76.2) для дисперсий случайных коэффициентов имеет в данном случае вид:

Третья формула (102.16), в отличие от того, что было получено в предыдущем примере, в данном случае дает и уравнение (102.17), определяющее координатные функции выходной переменной системы, принимает вид:

Интеграл этого уравнения, обращающийся в нуль при определяется формулой

Приближенная формула (102.9) дает для дисперсии случайной функции У выражение

где

Принимая во внимание, что согласно (60.37) и (60.44)

можем выполнить интегрирование по в (102.50). В результате получим:

Таким образом, дисперсия случайной функции У определяется приближенной формулой (102.49), в которой величины даются формулой (102.52).

Пример 3. Решить предыдущий пример методом интегральных канонических представлений.

Интегральное каноническое представление (77.13) стационарной случайной функции X в данном случае имеет вид:

где белый шум переменных со и Формула (77.7) для спектральной плотности случайной функции X имеет в данном случае вид:

Формула (102.33) в данном случае дает уравнение (102.35) принимает вид:

Интеграл этого уравнения, равный нулю при выражается формулой

Подставляя это выражение в (102.38) при и принимая во внимание, что интенсивность белого шума V равна спектральной плотности случайной функции X, получим для дисперсии случайной функции У приближенную формулу

где на основании (102.54) и (9.22)

Если выполнить интегрирование в формуле (102.57) для случая, когда возмущение X не зависит от К и является случайной функцией времени, корреляционная функция которой определяется формулой (49.36), то получим формулу (101.16), выведенную для этого случая в примере предыдущего параграфа (функция в этом случае, очевидно, представляет собой спектральную плотность случайной функции X).