§ 104. Применение метода статистической линеаризации для исследования точности стационарных систем

Для того чтобы показать применение метода статистической линеаризации к исследованию точности нелинейных систем, смотрим сначала простейшую одномерную стационарную систему, состоящую из линейной стационарной системы с передаточной функцией и одного нелинейного элемента, входная и выходная переменные которого связаны функциональной зависимостью

где заданная однозначная функция. Входное случайное возмущение X будем считать стационарной случайной функцией времени

Если нелинейный элемент не охватывается обратной связью и не находится в цепи обратной связи, то для исследования точности системы можно будет применить точный метод § 107. Если нелинейный элемент охватывается обратной связью или находится в цепи обратной связи, то для исследования точности системы придется применить метод статистической линеаризации или какой-нибудь другой из приближенных методов исследования нелинейных преобразований случайных функций, о которых будет идти речь в § 108. Для рассматриваемого простейшего случая самым простым и удобным является метод статистической линеаризации.

В системе рассматриваемого типа с обратной связью нелинейный элемент может быть соединен с линейной системой тремя различными способами, схематически показанными на рис. 51, 52 и 53.

Рис. 51.

Рис. 52.

Рис. 53.

Применяя метод статистической линеаризации, мы заменим нелинейную зависимость (104.1) между входной и выходной переменными нелинейного элемента приближенной линейной зависимостью

где коэффициенты, выбираемые, как было показано в предыдущем параграфе, из условия статистической равноценности выходных сигналов фиктивного линейного элемента, соответствующего зависимости (104.2), и действительного нелинейного элемента. Коэффициент может быть назван статистическим коэффициентом передачи нелинейного элемента по полезному сигналу, а коэффициент — статистическим коэффициентом передачи нелинейного элемента по флуктуациям. В соответствии с описанной в § 99

физической картиной совместного прохождения полезного сигнала и флуктуаций через нелинейный элемент статистические коэффициенты передачи нелинейного элемента зависят от закона распределения входной величины нелинейного элемента. Для практических целей с достаточной точностью можно считать при вычислении статистических коэффициентов передачи, что входная величина нелинейного элемента подчинена нормальному закону распределения. Тогда статистические коэффициенты передачи нелинейного элемента будут функциями математического ожидания и дисперсии входной величины. И. Е. Казаковым составлены таблица формул и графики статистических коэффициентов передачи типовых нелинейных элементов систем автоматического управления для случая нормального закона распределения входной переменной [26]. Эта таблица (Приложение, таблица I) и графики дают возможность быстро находить статистические коэффициенты передачи типовых нелинейных элементов в зависимости от математического ожидания и среднего квадратического отклонения входной переменной.

Формула (104.2) дает следующую зависимость между математическими ожиданиями входной и выходной переменных нелинейного элемента:

Вычитая формулу (104.3) почленно из формулы (104.2), получим соответствующую зависимость между центрированными случайными функциями и К:

Формулы (104.3) и (104.4) показывают, что при статистической линеаризации нелинейный элемент заменяется одним линейным элементом при определении систематической ошибки (т. е. математического ожидания выходной переменной системы) и другим — при определении дисперсии выходной переменной. Вследствие этого статистически линеаризованная стационарная система будет иметь различные передаточные функции для математического ожидания и для случайных флуктуаций. Пользуясь выведенными в § 86 свойствами передаточных функций, получим для передаточных функций системы с нелинейным элементом в цепи обратной связи (рис. 51) по полезному сигналу и по флуктуациям следующие формулы:

Применяя формулу (91.7) и принимая во внимание, что математическое ожидание входного случайного возмущения X постоянно, так как по предположению X является стационарной случайной

функцией времени, получим соотношение между математическими ожиданиями входного случайного возмущения и выходной переменной в установившемся режиме (т. е. после окончания переходного процесса):

В этой формуле мы отметили в явной форме зависимость статистического коэффициента передачи нелинейного элемента от математического ожидания и дисперсии входной переменной. Легко видеть, что в отличие от случая исследования точности линейной стационарной системы формула (104.7) не дает возможности непосредственно определить математическое Ожидание случайной функции К, так как в нее входит коэффициент зависящий от неизвестных математического ожидания и дисперсии случайной функции К. Поэтому формулу (104.7) следует рассматривать как уравнение, связывающее неизвестные математическое ожидание и дисперсию случайной функции К. Для получения второго уравнения, связывающего неизвестные ту и воспользуемся формулой (92.7). Тогда, принимая во внимание, что передаточная функция рассматриваемой системы по флуктуациям определяется формулой (104.6), получим:

где спектральная плотность случайной функции Решая уравнения (104.7) и (104.8) совместно относительно можно приближенно найти математическое ожидание и дисперсию выходной переменной рассматриваемой нелинейной системы.

Для решения системы уравнений (104.7) и (104.8) можно применить различные приближенные методы. В частности, можно применить метод последовательных приближений. Взяв в первом приближении какие-нибудь грубо приближенные значения статистических коэффициентов передачи и можно вычислить по формулам (104.7) и (104.8) величины в первом приближении. После этого можно уточнить значения коэффициентов и снова вычислить величины по формулам (104.7) и (104.8). По полученным во втором приближении значениям можно найти коэффициенты в третьем приближении и т. д. Процесс можно продолжать неограниченно. Практически он закончится тогда, когда два последующих приближения совпадут в пределах точности вычислений. Практически этот процесс всегда сходится весьма быстро, и уже во втором или в третьем приближении величины определяются с достаточной точностью. Система уравнений (104.7) и (104.8) может быть приближенно решена и графическим методом. Для ее решения достаточно построить в координатах кривые,

соответствующие уравнениям (104.7) и (104.8), и определить их точку пересечения. Однако, ввиду того, что вычисления по формуле (104.8) часто оказываются громоздкими, построение кривой, соответствующей уравнению (104.8), целесообразно заменить построением некоторой другой кривой, пересекающейся с кривой, соответствующей уравнению (104.7) в той же точке. Для определения ряда точек кривой, соответствующей уравнению (104.7), можно заменить уравнение (104.7) равноценной системой уравнений:

Первому из этих уравнений соответствует биссектриса координатного угла в декартовых прямоугольных координатах Второму уравнению (104.9) соответствует семейство кривых в координатах с параметром Построив кривые, соответствующие второму уравнению (104.9), для ряда значений параметра и определив точки пересечения их с биссектрисой координатного угла (рис. 54), мы найдем значения абсцисс кривой (104.7), соответствующие выбранным значениям ординаты после чего можем по найденным точкам построить кривую (104.7) в координатах (кривая 1 рис. 55).

Рис. 54.

Рис. 55.

После этого строим в тех же координатах кривую, соответствующую уравнению

откладывая величину С по оси и рассматривая величину как функцию величины ту, определяемую уравнением (104.7) или, что то же, кривой 1 на рис. 55. Кривая (104.10), очевидно, пересекает кривую (104.7) в той же точке, что и кривая (104.8). Поэтому

точка пересечения кривых (104.7) и (104.10) дает решение уравнений (104.7) и (104.8).

В отдельных частных случаях решение уравнений (104.7) и (104.8) может быть найдено более простыми методами, например аналитически в явной форме. В сложных случаях систему уравнений (104.7) и (104.8) можно решить только методом последовательных приближений или изложенным графическим методом.

Совершенно аналогично решается задача определения математического ожидания и дисперсии выходной переменной системы при других способах включения нелинейного элемента. Так, например, для системы, изображенной на рис. 52, передаточные функции по полезному сигналу и по флуктуациям определяются формулами:

Математическое ожидание и дисперсия выходной переменной К определяются формулами:

Статистические коэффициенты передачи нелинейного элемента, входящие в формулы (104.13) и (104.14), являются функциями неизвестных математического ожидания и дисперсии входной величины нелинейного элемента V, равной в данном случае Для составления уравнений, определяющих неизвестные величины необходимо найти передаточные функции, характеризующие действие входного возмущения X на входную величину нелинейного элемента V, и выразить при помощи формул (91.7) и (92.7) математическое ожидание и дисперсию случайной функции В результате получим уравнения

Эти уравнения решаются совершенно так же, как и уравнения (104.7) и (104.8). Определив в процессе решения уравнений (104.15) и (104.16) коэффициенты можем вычислить по формулам (104.13) и (104.14) математическое ожидание и дисперсию выходной переменной системы К.

Совершенно аналогично метод статистической линеаризации применяется к одномерным стационарным системам с несколькими нелинейными элементами и к многомерным стационарным нелинейным системам. Заменив нелинейные элементы линейными элементами с соответствующими статистическими коэффициентами передачи и выразив при помощи формул §§ 91 и, 92 или 95 математические ожидания и дисперсии входных величин всех нелинейных элементов, получим соответствующее количество уравнений для определения неизвестных математических ожиданий и дисперсий входных величин нелинейных элементов. В результате решения этих уравнений будут определены математические. ожидания и дисперсии входных переменных нелинейных элементов и соответствующие статистические коэффициенты передачи нелинейных элементов. После этого можно будет определить по тем же формулам §§ 91 и 92 или 95 математические ожидания и дисперсии выходных переменных системы.

Однако в случае системы с двумя или большим количеством нелинейных элементов графическое решение уравнений, определяющих математические ожидания и дисперсии входных величин нелинейных элементов, может стать очень громоздким. Поэтому в общем случае для систем с несколькими нелинейными элементами решение системы уравнений, определяющих математические ожидания и дисперсии входных величин нелинейных элементов, можно выполнить практически только методом последовательных приближений. И лишь в частных случаях, когда эти уравнения распадаются на независимые друг от друга пары уравнений, их решение можно выполнить изложенным выше графическим методом.

Пример 1. Найти характеристики точности следящей системы, состоящей из линейного привода, устройства сравнения выходной и входной переменных и релейного элемента, вырабатывающего управляющий приводом сигнал, имеющий постоянную абсолютную величину. Характеристика релейного элемента представлена на рис. 56. Соединение релейного элемента с линейным исполнительным устройством в данном случае выполняется по схеме рис. 52.

Рис. 56.

Для решения задачи прежде всего выведем формулы для статистических коэффициентов передачи релейного элемента, предполагая, что его входная величина распределена нормально. Уравнение характеристики релейного элемента может быть записано в виде:

где («сигнум») - функция, равная при положительном значении аргумента и при отрицательном значении аргумента Для вычисления коэффициентов по формулам (103.5) находим сначала по

формулам (103.6) математическое ожидание и дисперсию выходной величины релейного элемента:

Пользуясь формулой (11.11), находим:

Подставляя эти выражения в (104.18), получим:

На основании формул (104.17) и (104.20) дисперсия выходной величины релейного элемента, определяемая второй формулой (103.6), равна:

На основании формул (103.5) и (104.20) статистический коэффициент передачи релейного элемента по полезному сигналу выразится формулой

Подставляя выражение (104.21) во вторую формулу (103.5), найдем статистический коэффициент передачи релейного элемента по флуктуациям, соответствующий первому критерию статистической линеаризации предыдущего параграфа:

Мы выбрали здесь перед корнем знак плюс, так как этот знак соответствует правильной передаче знака релейным элементом. Взяв знак минус, мы получили бы неустойчивую систему и тем самым существенно исказили бы характер работы системы. По второму критерию статистической линеаризации получим для статистического коэффициента передачи релейного элемента, согласно формуле (103.11), выражение

Подставляя в эту формулу выражение (11.6) нормальной плотности вероятности и выполняя интегрирование, получим:

Для статистического коэффициента передачи релейного элемента по флуктуациям принимаем, согласно рекомендации И. Е. Казакова, среднее арифметическое двух его значений, найденных по двум критериям статистической равноценности линейного и нелинейного элементов:

Подставляя сюда выражения (104.23) и (104.25), получим окончательно:

где для краткости введена функция

Формулы (104.22) и (104.27) позволяют определить статистические коэффициенты передачи релейного элемента и в зависимости от математического ожидания и дисперсии входной величины.

Относительно привода следящей системы предположим, что он развивает скорость, пропорциональную управляющему сигналу, набирая ее как простое инерционное звено с постоянной времени В этом случае зависимость между управляющим сигналом и скоростью изменения выходной величины системы имеет вид:

Следовательно, передаточная функция привода определяется формулой

Подставляя это выражение в (104.11) и (104.12), найдем передаточные функции рассматриваемой следящей системы по полезному сигналу и по флуктуациям:

Применяя формулу (91.7) и принимая во внимание, что величина постоянна, найдем установившееся значение математического ожидания выходной величины системы У:

Следовательно, рассматриваемая следящая система отрабатывает постоянный сигнал без ошибки, т. е. является астатической. Для определения дисперсии выходной величины следящей системы У необходимо задать спектральную плотность входного возмущения. Мы будем предполагать, что входное возмущение является стационарной случайной функцией, корреляционная функция и спектральная плотность которой определяются формулами

Подставляя выражения передаточной функции (104.32) и спектральной плотности (104.34) в формулу (92.7), получим:

Интеграл в этой формуле может быть найден с помощью таблицы интегралов этого типа, приведенной в приложении (таблица II). В результате получим:

Коэффициент в этой формуле зависит от математического ожидания и дисперсии входной величины релейного элемента, т. е. величины Но математическое ожидание величины на основании формулы (104.33) равно нулю. Следовательно, коэффициент определяемый формулой (104.27), зависит только от дисперсии величины V и равен:

Для определения дисперсии величины V находим передаточную функцию, характеризующую влияние входного возмущения X на входную величину релейного элемента На основании формулы (104.32) получим:

Подставляя это выражение передаточной функции и выражение (104.34) спектральной плотности входного случайного возмущения в формулу (92.7), получим следующую формулу для дисперсии случайной функции V:

Пользуясь для вычисления интеграла таблицей II, приведенной в приложении, приведем формулу (104.39) к виду:

Подставляя сюда выражение (104.37) коэффициента получим следующее уравнение для определения дисперсии входной величины релейного элемента:

Это уравнение легко приводится к кубичному уравнению относительно величины В частном случае безынерционного привода и уравнение (104.41) приводится к квадратному уравнению относительно величины Решая уравнение (104.41), найдем величину после чего по формуле (104.37) определится коэффициент а по формуле (104.36) — дисперсия выходной переменной рассматриваемой следящей системы У.

Рис. 57.

Для того чтобы довести решение задачи в числах до конца, примем следующие значения параметров системы и входного случайного возмущения:

Тогда уравнение (104.41) и формула (104.36) с точностью до трех значащих цифр примут вид:

Заменяем первое уравнение (104.42) системой уравнений

и строим в координатах кривые, соответствующие этим уравнениям (кривые на рис. 57). Кривая, соответствующая второму уравнению (104.43), построена на рис. 57 для различных значений среднего квадратического отклонения входного случайного возмущения . Точка пересечения кривой 2 с кривой дает значение среднего квадратического отклонения входной величины релейного элемента, после чего по второй формуле (104.42) определяется среднее квадратическое отклонение выходной переменной рассматриваемой следящей системы Для наглядности мы сведем результаты вычислений

в таблицу, в которой приведем также значения статистических коэффициентов передачи релейного элемента системы и

(см. скан)

Эта таблица показывает, как уменьшаются статистические коэффициенты передачи релейного элемента с ростом дисперсии входного возмущения вследствие «забивания» релейного элемента флуктуациями. При увеличении среднего квадратического отклонения входного возмущения в четыре раза средний статистический коэффициент усиления сигнала ошибки релейным элементом уменьшается почти в пять раз. Вследствие этого и коэффициент усиления всей следящей системы в разомкнутом состоянии уменьшается приблизительно в пять раз.

Пример 2. Найти математическое ожидание и дисперсию выходной переменной системы, состоящей из стационарного колебательного звена, замкнутого отрицательной обратной связью через релейный элемент по схеме рис. 51, предполагая, что входное возмущение является стационарной случайной функцией времени, корреляционная функция и спектральная плотность которой определяются формулами (104.34).

Подставляя в формулы (104.7) и (104.8) выражение передаточной функции колебательного звена

и выражение (104.34) спектральной плотности входного случайного возмущения X, получим:

Интеграл в последней формуле может быть вычислен с помощью таблицы II, приведенной в приложении. Тогда формула (104.46) примет вид:

Решение задачи мы доведем до окончательного числового результата для следующих значений параметров системы и входного случайного возмущения:

Подставляя эти значения в уравнение (104.45) и принимая во внимание формулу (104.22), приведем уравнение (104.45) к виду:

Это уравнение, очевидно, равноценно уравнению

Подставляя принятые числовые значения параметров в уравнение (104.47) и принимая во внимание формулу (104.27), приведем это уравнение к виду:

Для построения кривой, соответствующей уравнению (104.49), заменяем уравнение (104.49) системой уравнений

Построив кривые, соответствующие второму уравнению (104.51), для ряда значений параметра и определив точки пересечения этих кривых с биссектрисой координатного угла (рис. 58), получим следующую таблицу координат точек кривой (104.49):

По этим координатам строим кривую 1 на рис. 59. После этого строим кривую 2 по уравнению

Величину С откладываем по оси а значения соответствующие выбранным значениям ту, снимаем с кривой Кривая, соответствующая уравнению (104.52), построена на рис. 59 для ряда значений дисперсии входного случайного возмущения, для того чтобы проследить, как изменяются характеристики точности рассматриваемой системы с изменением дисперсии входного возмущения. Точки пересечения кривых 2 с кривой в

координатах на рис. 59 определяют значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения выходной переменной системы в зависимости от дисперсии входного возмущения.

Рис. 58.

Рис. 59.

Результаты решения задачи мы представим в виде таблицы: