§ 79. Интегральное каноническое представление стационарной векторной случайной функции

Для того чтобы вывести интегральное каноническое представление стационарной векторной случайной функции одной независимой переменной в бесконечном интервале рассмотрим функций

Сравнивая формулу (79.1) с (78.2), находим:

где

— шаг изменения частоты в разложении (78.1). Формула (78.1) при помощи (79.2) может быть переписана в виде:

Переходя в формулах (79.4) и (79.1) к пределу при получим:

Функции представляют собой спектральные плотности стационарных случайных функций следовательно, всегда положительны. Функция при называется взаимной спектральной плотностью составляющих стационарной векторной случайной функции. Функция

называется взаимной спектральной функцией составляющих стационарной векторной случайной функции. Из этого определения следует, что взаимные спектральные плотности являются производными соответствующих взаимных спектральных функций:

Пользуясь формулой (79.6), можно выразить все спектральные функции составляющих стационарной векторной случайной функции через соответствующие корреляционные функции:

Совершенно так же, как в предыдущем параграфе было выведено соотношение (78.3) между коэффициентами выводятся аналогичные соотношения между спектральными плотностями и вытекающие из них соотношения между спектральными функциями:

Формула (79.5) не дает совместного интегрального канонического представления корреляционных функций Однако совместное интегральное каноническое представление корреляционных функций может быть получено совершенно так же, как в предыдущем параграфе было получено совместное каноническое разложение функций в конечном интервале. Определим функции удовлетворяющие уравнениям

Это всегда можно сделать и притом бесчисленным множеством способов, так как число функций вдвое превышает число независимых уравнений (79.11). При этом функции всегда положительны. Действительно, функции можно рассматривать как пределы при функций определяемых уравнениями

а функции в силу соотношений (79.2) и (78.6) можно выбрать удовлетворяющими условиям

Так как величины как дисперсии случайных величин все положительны, то функции положительны. Следовательно, и их пределы при положительны. Подставляя выражение (79.11) в формулу (79.5), получим:

Эту формулу можно представить в виде:

Сравнивая эту формулу с общей формулой (71.9), видим, что формулы (79.14) и (79.15) дают совместное интегральное каноническое представление корреляционных функций в бесконечном интервале с координатными функциями

Перейдем к совместному интегральному каноническому представлению самих составляющих стационарной векторной случайной функции Для этого перепишем формулу (78.11)

где функции, значения которых в точках определяются формулами:

Переходя к пределу при и меняя местами суммирование по и интегрирование по , получим:

Вследствие того, что случайные величины не коррелированы, а их математические ожидания равны нулю, случайные функции являются некоррелированными случайными функциями с тождественно равными нулю математическими ожиданиями, причем значения каждой из них при различных значениях со не коррелированы. Так как есть дисперсия случайной величины то вследствие формул (79.13) и (79.18) величина равна дисперсии случайной величины . Следовательно, переходя к пределу при придем к выводу, что величина представляет собой дисперсию случайной функции Эти свойства случайных функций позволяют выразить их корреляционные функции формулой

Таким образом, случайные функции являются некоррелированными белыми шумами, и, следовательно, формула (79.19) дает интегральное каноническое представление стационарной векторной случайной функции X типа (71.8).

Формулу (79.19) можно написать также в виде:

где

Случайные функции представляют собой коррелированные белые шумы. Действительно, математические ожидания случайных функций тождественно равны нулю, а их корреляционные и взаимные корреляционные функции определяются формулой

или на основании (79.11)

Заметим, что интегральные канонические представления стационарной векторной случайной функции и ее корреляционной функции (79.19) и (79.15) могут быть получены из общих формул § 71 совершенно так же, как в § 77 были получены интегральные канонические представления стационарной скалярной случайной функции и ее корреляционной функции.

Заметим, что все формулы последних двух параграфов, кроме (79.9), справедливы и для стационарных случайных функций векторного аргумента, если частоту также считать вектором, а произведение понимать как скалярное произведение векторов:

и в соответствии с этим все интегралы понимать как кратные интегралы соответствующего числа измерений. Что же касается формулы (79.9) для спектральных функций, то она заменится в случае векторного аргумента формулой

где интеграл в бесконечных пределах по каждому аргументу в соответствии с замечанием в сноске на стр. 332 следует понимать как

предел интеграла, распространенного по каждой переменной на симметричный относительно начала координат отрезок, при неограниченном увеличении длины этого отрезка, представляет собой символ конечной разности функции при изменении аргумента от до

Формула (79.26) легко выводится из формулы (79.6) интегрированием по всем составляющим вектора о) в пределах от нуля до текущего значения каждой составляющей. В частном случае при формулы последних двух параграфов дают соответствующие формулы §§ 76 и 77, которые, следовательно, также справедливы для случая векторного аргумента.