§ 137. Единственность решения и оценка приближения к оптимальному линейному оператору для критерия минимума средней квадратической ошибки

Если, кроме найденного одним из изложенных в предыдущих параграфах методов оптимального линейного оператора существует другой линейный оператор удовлетворяющий системе уравнений (122.26) и (122.27), то вследствие общей формулы (120.4) имеет место равенство

Отсюда на основании формулы (122.9) заключаем, что оптимальные операторы удовлетворяют условиям:

Эти равенства должны выполняться тождественно относительно в области что возможно или в том случае, когда оператор А совпадает с А, или в том случае, когда существует такой линейный функционал который удовлетворяет условиям:

В этом случае любой оператор вида

где произвольная функция, удовлетворяет условиям (137.2) и (137.3), а следовательно и условию (137.1). Таким образом, если существует линейный функционал удовлетворяющий условиям (137.4) и (137.5), то существует бесчисленное множество оптимальных линейных операторов, которые определяются формулой (137.6).

Заметим, что в случае, когда все функции могут быть представлены разложением (135.17), условия (137.5) являются следствием условий (137.4). Если не существует функционала, удовлетворяющего условиям (137.4) и (137.5), то найденный в предыдущем параграфе оптимальный линейный оператор является единственным. Если случайная функция X выражается каноническим разложением (135.1) с конечным числом членов, то всегда можно найти линейный

функционал удовлетворяющий условиям (137.4) и (137.5). Следовательно, в этом случае всегда существует бесчисленное множество оптимальных линейных операторов, равноценных с точки зрения критерия средней квадратической ошибки. При практическом применении метода, изложенного в предыдущих трех параграфах, всегда приходится ограничиваться конечными отрезками рядов. Получаемое таким образом решение является точным для случая, когда каноническое разложение (135.1) случайной функции X содержит соответствующее конечное число членов. Поэтому практически всегда можно найти линейный функционал, приближенно удовлетворяющий условиям (137.4) и (137.5). В качестве такого функционала можно взять, например, линейную комбинацию функционалов не использованных в конечных отрезках рядов (135.13) и (135.14), при помощи которых определяется оптимальный оператор. Таким образом, метод канонических разложений дает возможность не только найти оптимальный линейный оператор с любой степенью точности, но и определить возможные отступления от него без существенного изменения средней квадратической ошибки. В этом состоит большое преимущество метода канонических разложений перед методами, изложенными в §§ 128—133, так как для практики очень важно находить возможные отступления от оптимального оператора, не приводящие к существенному ухудшению точности системы.

При реализации оптимального оператора в конструкции автоматической системы всегда неизбежны отступления от найденного оптимального оператора, вызванные прежде всего требованиями технической целесообразности проектируемой системы, а также другими требованиями, которые могут быть к ней предъявлены. Поэтому для приложений важно не только уметь определять оптимальный оператор и возможные отступления от него, не приводящие к существенному ухудшению точности, но и уметь оценивать увеличение средней квадратической ошибки при данном отклонении от оптимального оператора. Для того чтобы вывести формулу для увеличения средней квадратической ошибки при переходе от оптимального линейного оператора А к другому линейному оператору А положим:

На основании формул (122.9) и (135.1) можем написать:

или, пользуясь обозначениями (137.7),

Отсюда, принимая во внимание (122.14) и учитывая, что случайные величины не коррелированы со случайной функцией X, а следовательно и со случайными величинами находим:

Эта формула определяет увеличение средней квадратической ошибки в случае, когда математические ожидания и дисперсии всех случайных величин а следовательно, и все величины конечны. В случае, когда некоторые из величин бесконечны, оператор А, так же как и оптимальный оператор должен удовлетворять соответствующим уравнениям (122.31). В этом случае соответствующие величины равны нулю и соответствующие члены первых сумм в (137.8), (137.9) и (137.10) выпадают.

Оценка разности моментов второго порядка ошибок по формуле (137.10) является, конечно, не единственным способом оценки приближения к оптимальному оператору. Разность можно определить и непосредственно по известным минимальной средней квадратической ошибке, соответствующей оптимальному оператору и средней квадратической ошибке, соответствующей оператору Такой способ оценки приближения к оптимальной системе мы применили в примерах 1 и 2 § 134.

Пример 1. Определить, является ли оптимальная линейная система, найденная в примере 1 § 134, единственной.

Известно, что система функций является полной, т. е. не существует функции, ортогональной в интервале длины ко всем этим функциям ([74], т. II, гл. VI, § 3). Поэтому в данном случае не существует линейного функционала вида (136.15), удовлетворяющего условиям (137.4). Следовательно, найденная в примере 1 § 134 линейная система является единственным решением поставленной задачи.

Пример 2. Определить, является ли оптимальная линейная система, найденная в примере предыдущего параграфа, единственной.

Так как при любом целом

то функция при любом целом не равном единице, удовлетворяет всем условиям (137.4) и (137.5). Следовательно, в данном случае существует бесчисленное множество оптимальных линейных операторов, равноценных по точности найденному в примере предыдущего параграфа. В частности, все линейные интегральные операторы с весовыми функциями вида

где произвольная функция, являются оптимальными и дают ту же среднюю квадратическую ошибку, определяемую формулой (136.41), что и оператор найденный в примере предыдущего параграфа. Этот пример иллюстрирует отмеченный выше факт существования бесчисленного множества оптимальных линейных операторов в случае, когда случайная функция X выражается каноническим разложением, содержащим конечное число членов.