§ 2. Экспериментальные основы теории вероятностей. Частота и вероятность события
В основе всякой науки лежат определенные экспериментальные факты, на основе которых формируются основные понятия данной науки. Лишь при этом условии наука может правильно отображать те или иные стороны действительного мира, может служить
инструментом для его познания. Для того чтобы разобраться в тех экспериментальных фактах, которые лежат в основе теории вероятностей, условимся относительно некоторых основных терминов.
Будем называть опытом осуществление определенных условий и действий, при которых наблюдается данное случайное явление. Например, опытом может быть выстрел или несколько выстрелов при определенных условиях, при которых наблюдаются полет снаряда (или снарядов) и результат стрельбы. Опытом может быть измерение какой-либо постоянной или непрерывно изменяющейся величины. Опытом может быть также определение какого-либо признака некоторого предмета, взятого наудачу из совокупности однородных предметов.
Результат опыта можно характеризовать качественно и количественно. Качественный результат опыта называется событием. Например, попадание в цель при выстреле является событием. Промах при выстреле тоже является событием. Получение одного попадания и одного промаха в результате опыта, состоящего из двух выстрелов, является событием. То, что при измерении некоторой величины получена величина, меньшая некоторого числа а, является событием.
Любая количественная характеристика опыта, которая в результате опыта может принять одно из ряда возможных значений, называется случайной величиной. Случайные величины могут иметь различный характер. В частности, случайная величина может быть скалярной величиной, вектором, функцией или вообще любым математическим объектом, который может быть назван величиной. Таким образом, можно рассматривать скалярные случайные величины, случайные векторы, случайные функции и т. д. Каждое возможное значение скалярной случайной величины является числом. Каждое возможное значение случайного вектора представляет собой вектор, т. е. совокупность соответствующего количества чисел. Каждое возможное значение случайной функции представляет собой некоторую конкретную функцию. Примерами скалярных случайных величин могут служить ошибки измерения постоянных скалярных величин, координаты точки разрыва снаряда, ординаты кривой, получаемой в результате записи непрерывно измеряемой переменной величины. Примерами случайных векторов могут служить совокупность ошибок совместного измерения нескольких постоянных скалярных величин и радиус-вектор точки разрыва снаряда. Примером случайной функции является ошибка измерения непрерывно изменяющейся величины.
С каждой случайной величиной можно связать определенное событие, например то, что данная случайная величина примет значение, меньшее некоторого данного значения. Наоборот, с каждым событием можно связать случайную величину, а именно число появлений данного события.
Событие называется достоверным, если оно не может не появиться в результате данного опыта. Событие называется невозможным, если оно не может появиться в результате данного опыта. Событие, которое может появиться или не появиться в результате данного опыта, называется случайным событием.
Рассмотрим последовательность одинаковых опытов и посмотрим, как можно характеризовать результат наблюдения данного события в этой последовательности опытов. Совершенно естественной количественной характеристикой результата данной последовательности опытов является частота данного события, т. е. отношение числа появлений данного события к числу всех произведенных опытов. Если мы будем неограниченно увеличивать число опытов и после каждого опыта будем определять частоту рассматриваемого события во всей серии уже произведенных опытов, то обнаружим, что по мере увеличения числа опытов частота события имеет тенденцию стабилизироваться около некоторого значения, колеблясь около этого значения с убывающей амплитудой.
Рис. 1.
Для иллюстрации на рис. 1 приведена зависимость частоты появлений герба при бросании монеты от числа бросаний монеты, заимствованная из книги Г. Крамера [32]. На этом графике число бросаний отложено по оси абсцисс в логарифмическом масштабе. Факт устойчивости частоты события при неограниченном увеличении числа опытов является основной экспериментальной закономерностью массовых случайных явлений. Величина,
около которой стабилизируется частота события при неограниченном увеличении числа опытов, может в некотором смысле характеризовать событие. А именно, она определяет относительное количество опытов, в результате которых появляется данное событие при очень большом числе опытов, показывает, насколько данное событие вероятно, и поэтому может служить объективной мерой его возможности. В соответствии с этим вероятностью события при данных условиях опыта называется теоретическая частота события, около которой имеет тенденцию стабилизироваться действительная частота события при повторении опыта в данных условиях.
Приведенное определение вероятности события не следует смешивать с определением вероятности по Мизесу как предела частоты события при неограниченном увеличении числа опытоз. Согласно приведенному определению вероятность является объективной характеристикой события, существующей независимо от проведения опытов. У Мизеса вероятность существует лишь как результат опытов, является удобной формой регистрации результатов опытов. Такая концепция характерна для махистскай философии, которая, как известно, считает законы науки вообще не объективно существующими, а лишь удобной формулой регистрации результатов опытов. Кроме того, определение вероятности Мизеса неудовлетворительно с математической точки зрения, так как обычное математическое определение предела неприменимо к последовательностям случайных результатов опытов. Таким образом, определение вероятности Мизеса оказывается несостоятельным и с философской, и с математической точек зрения.
Вероятность события А мы будем обозначать символом 
Очевидно, что частота события всегда является положительной правильной дробью. Этим свойством должна обладать и вероятность события. Следовательно,
Частота и вероятность невозможного события, очевидно, равны нулю. Частота и вероятность достоверного события равны единице. Вероятность случайного события может иметь любое значение, удовлетворяющее неравенствам (2.1), и, в частности, может быть равна нулю или единице. Частота случайного события может принимать любые рациональные значения, удовлетворяющие неравенствам (2.1), включая нуль и единицу.
