§ 35. Применение характеристических функций для определения законов распределения функций случайных величин

В некоторых случаях для нахождения законов распределения функций случайных величин оказывается целесообразным применение метода характеристических функций.

Рассмотрим случайную величину К, определяемую как функция случайной величины X формулой (30.1). Согласно определению (25.1) характеристической функции случайной величины и формуле (10.3), характеристическая функция случайной величины У определяется формулой

Применяя формулу (26.1), найдем плотность вероятности случайной величины У:

Совершенно аналогично выводится формула для плотности вероятности случайного вектора К, составляющие которого определяются как функции случайных величин формулами (30.3). Согласно определению (28.1) характеристической функции случайного вектора и формуле (18.1) характеристическая функция случайного вектора У выразится формулой

Применяя формулу (28.14), найдем плотность вероятности случайного вектора У:

На основании сказанного в §§ 26 и 28 интегралы по переменным X в (35.2) и (35.4) следует понимать как пределы интегралов по симметричным относительно начала координат отрезкам.

Формулы (35.2) и (35.4), так же как и формулы (33.3) и (33.5), являются весьма общими, так как они не накладывают никаких ограничений на функции кроме требования однозначности.

Изменяя в формулах (35.2) и (35.4) порядок интегрирования и принимая во внимание (9.22), получим соответственно формулы (33.3) и (33.5). Таким образом, формулы (35.2) и (35.4) по существу равноценны формулам (33.3) (33.5).

Применяя сокращенную векторную форму записи, можно написать формулы (35.3) и (35.4) в виде:

Подставляя выражение (35.1) в формулу (26.13), можно найти функцию распределения случайной величины К, определяемой формулой (30.1). Подставляя выражение (65.3) в формулу для функции распределения случайного вектора, аналогичную формуле (26.13), можно найти функцию распределения случайного вектора К, составляющие которого определяются формулой (30.3).

Пример 1. Найти закон распределения случайной величины

если случайная величина X распределена равномерно в пределах периода синуса.

Формула (35.2) дает в данном случае:

Интеграл по х здесь не выражается через элементарные функции, но может быть выражен через бесселеву функцию [17]:

На основании (35.9) и четности функции формула (35.8) принимает вид:

Последний интеграл выражается известной в теории бесселевых функций формулой, которая дает [17]:

Пример 2. Найти композицию двух равномерных распределений:

Формула (35.4) дает:

Отсюда на основании известной формулы ([74], т. II, гл. III, § 2)

получаем:

На рис. 15 приведен график плотности вероятности суммы двух равномерно распределенных величин.

Рис. 15.

Полученный результат показывает, что композиция двух равномерных распределений уже не дает равномерного распределения» Таким образом, равномерное распределение не обладает свойством инвариантности по отношению к композиции, которое характерно для нормального распределения и распределения Пуассона.