§ 89. Линейное преобразование векторной случайной функции

Сформулированные в предыдущем параграфе общие законы преобразования математического ожидания, корреляционной функции и координатных функций при линейном преобразовании случайной функции имеют весьма общий характер и применимы к случайным

функциям любых аргументов В частности, они применимы к векторным случайным функциям. Для того чтобы получить из формул предыдущего параграфа соответствующие формулы для векторных случайных функций, достаточно применить обычный в этой книге прием — рассматривать составляющую векторной функции как скалярную функцию ее аргумента и номера. Ввиду того, что преобразования векторных случайных функций часто встречаются в приложениях, мы дадим вывод формул преобразования математического ожидания, корреляционной функции и координатных функций при линейном преобразовании векторной случайной функции независимо от общих формул предыдущего параграфа. Общее линейное преобразование векторной случайной функции X с составляющими можно, согласно (85.1) и (85.2), выразить формулой

где произвольные линейные операторы. Предполагая, как и в предыдущем параграфе, что операция математического ожидания переместительна со всеми линейными операторами (что практически всегда выполняется), получим следующую формулу для математического ожидания векторной случайной функции К:

На основании формул (89.1) и (89.2) можем написать:

где верхние индексы у операторов показывают, к функциям каких аргументов они применяются. Формула (89.3) дает корреляционную функцию векторной случайной функции К (т. е. совокупность корреляционных функций и взаимных корреляционных функций всех ее составляющих):

Формула (89.2) показывает, что при линейном преобразовании векторной случайной функции ее математическое ожидание преобразуется так же, как и сама векторная случайная функция. Формула (89.4) выражает, что при линейном преобразовании векторной случайной функции ее корреляционная функция подвергается

двойному линейному преобразованию: один раз по отношению к первому аргументу и первому индексу при помощи того же линейного оператора, что и сама векторная случайная функция, а второй раз по отношению ко второму аргументу и второму индексу при помощи комплексного сопряженного линейного оператора.

Формула (89.4), очевидно, справедлива и для начальных моментов второго порядка:

Аналогичные соотношения можно вывести и для начальных и центральных моментов высших порядков.

На основании принципа суперпозиции линейное преобразование векторной случайной функции сводится при помощи канонического представления к такому же линейному преобразованию вектора математического ожидания и векторных координатных функций. Выразив векторную случайную функцию X каким-либо каноническим разложением (70.1), получим каноническое разложение векторной случайной функции

координатные функции которого определяются формулой

На основании (70.3) корреляционная функция векторной случайной функции К выразится через составляющие координатных функций формулой

Аналогично, выразив векторную случайную функцию X интегральным каноническим представлением (71.8), получим интегральное каноническое представление векторной случайной функции К:

с векторными координатными функциями X), составляющие которых определяются формулой

На основании (71.9) корреляционная функция векторной случайной функции У выразится формулой

Применим формулу (89.4) к случаю двумерной векторной случайной функции и скалярной (одномерной) случайной функции В этом случае общее линейное преобразование (89.1) принимает вид:

Формула (89.2) определяет составляющие математического ожидания векторной случайной функции

На основании (89.4) получаем следующие формулы для корреляционных функций и взаимной корреляционной функции случайных функций

Совершенно такие же формулы получаются для начальных моментов второго порядка случайных функций

Если в частности оператор является оператором тождественного преобразования (т. е. единичным, не изменяющим преобразуемую функцию), то, опуская индекс у оператора перепишем формулы (89.12) в виде:

Вторая формула (89.14) дает при этом формулу для взаимной корреляционной функции случайной функции полученной в результате линейного преобразования случайной функции и случайной функции

Аналогичной формулой выражается смешанный начальный момент второго порядка случайных функций и