§ 129. Формулы, определяющие оптимальную линейную систему в случае бесконечного интервала наблюдения и стационарной случайной функции на входе

Применим формулу (128.10) для определения весовой функции оптимальной линейной системы в частном случае, когда случайная функция X стационарна. Согласно изложенному в § 97, представив спектральную плотность стационарной случайной функции X в виде:

мы можем рассматривать случайную функцию X как результат преобразования белого шума V со спектральной плотностью, равной единице, стационарной линейной системой с передаточной функцией Следовательно, передаточная функция обратной системы, преобразующей случайную функцию X в белый шум с единичной спектральной плотностью, будет равна Зная передаточную функцию системы, преобразующей случайную функцию X в белый шум, можно по формуле (87.5) найти соответствующую весовую функцию которая в данном случае будет функцией разности своих двух аргументов. После этого можно будет применить формулу (128.10) для определения весовой функции оптимальной линейной системы.

Так как интенсивность белого шума имеющего единичную спектральную плотность, равна (см. пример 1 § 77), то формула (128.10) принимает в данном случае вид:

Производя замену переменных приведем формулу (129.2) к виду:

Применяя формулу (87.5), получим следующее выражение весовой функции через передаточную функцию Ф:

Так как весовая функция действительна в случае действительной случайной функции X и, следовательно, совпадает со своей комплексной сопряженной величиной, то формулу (129.4) можно переписать также в виде:

На основании этой формулы

Вводя обозначение

получим:

Подставляя это выражение в формулу (129.3), пользуясь формулой (129.4) и изменяя порядок интегрирования, получим:

Эта формула была получена Бутоном для случая, когда функция представляет собой взаимную корреляционную функцию нестационарной случайной функции У и стационарной случайной функции X [84].

Заметим, что вследствие равенства нулю весовой функции при в формулу (129.3) входят лишь значения функции соответствующие значениям Поэтому функцию можно продолжить в область совершенно произвольно, например, можно принять ее равной нулю при Однако следует иметь в виду, что вследствие наличия -функций в выражении весовой функции разрывы функции и ее производных по х, полученные при произвольном ее продолжении в область дадут при вычислении внутреннего интеграла в формуле (129.3) лишние члены с -функцией и ее производными, которые следует отбросить, так как они не получаются при применении более строгой формулы (128.9), не требующей продолжения функции в область Следовательно, и при вычислении внутреннего интеграла в формуле (129.9) следует отбросить все члены с -функциями.

В частном случае, когда функция зависит только от разности аргументов:

функция не зависит от

и формула (129.9) принимает вид:

Определяемая этой формулой весовая функция, очевидно, зависит только от разности своих аргументов, и, следовательно, соответствующая линейная система стационарна. Сравнивая формулу (129.12) с общей формулой (87.5), выражающей весовую функцию стационарной линейной системы через ее передаточную функцию, приходим к заключению, что передаточная функция стационарной линейной системы, определяемой формулой (129.12), равна:

Производя в уравнении (125.7) для рассматриваемого случая замену переменных полагая и принимая во внимание (129.10), приведем это уравнение к виду:

Таким образом, формула (129.13) определяет передаточную функцию стационарной линейной системы, весовая функция которой (129.12) удовлетворяет уравнению (129.14).

В частном случае, когда функция представляет собой взаимную корреляционную функцию стационарных и стационарно связанных случайных функций :

функция определяемая формулой (129.11), согласно (79.6) есть взаимная спектральная плотность случайных функций :

Формула (129.13) получена Винером как результат решения задачи определения оптимальной системы по критерию минимума средней квадратической ошибки в классе стационарных линейных систем [108]. Выведенная выше из формулы (129.9) формула (129.12) показывает, что если случайная функция X стационарна, а функция зависит только от разности аргументов (например, является взаимной корреляционной функцией двух стационарных и стационарно связанных случайных функций), то оптимальная стационарная линейная система является вместе с тем и оптимальной системой в классе всех линейных систем.

Рис. 80.

Для практики наиболее важен частный случай формулы (129.13), когда и являются дробно-рациональными алгебраическими функциями. Так как корреляционные функции обычно определяются экспериментально, то соответствующие спектральные плотности всегда могут быть аппроксимированы дробно-рациональными функциями. В этом случае функция может быть представлена в виде:

где полиномы, причем степень полинома меньше, чем степень полинома Полином при выполнении интегрирования по в формулах (129.12) и (129.13) даст -функцию и ее производные, которые следует, согласно сделанному выше замечанию, отбросить.

Разложим дробь в выражении (129.17) на простые дроби, причем сначала ограничимся случаем, когда знаменатель не имеет кратных корней. Для вычисления внутреннего интеграла в формуле (129.13) для каждой простой дроби можно применить теорию вычетов ([74], т. III, ч. 2, гл. III). При этом контур интегрирования придется взять в верхней полуплоскости, как показано на рис. 80, так

как в области второго интегрирования в формуле (129.13) и интеграл по полуокружности в верхней полуплоскости будет стремиться к нулю при неограниченном возрастании ее радиуса. В результате получим:

Таким образом, для любого корня полинома лежащего в верхней полуплоскости, и для любого значения , удовлетворяющего условию

а для любого корня лежащего в нижней полуплоскости,

Формулы (129.19) и (129.20) показывают, что в случае дробно-рациональных функций и все простые дроби, соответствующие полюсам функции расположенным в верхней полуплоскости, остаются неизменными при выполнении интегрирования в формуле (129.13) при а все простые дроби, соответствующие полюсам функции лежащим в нижней полуплоскости, дают в результате интегрирования нуль. Этот результат можно записать в виде:

где индекс «плюс» у выражения в квадратных скобках означает, что это выражение должно быть разложено на простые дроби и в этом разложении должны быть оставлены только те простые дроби, которые соответствуют полюсам, расположенным в верхней полуплоскости, а все простые дроби, соответствующие полюсам, расположенным в нижней полуплоскости, и целая часть должны быть отброшены.

Для вычисления интеграла в формуле (129.13) в случае, когда полином имеет кратные корни, продифференцируем формулы (129.19) и раз по Тогда получим:

для любого корня лежащего в верхней полуплоскости, и для любого значения , удовлетворяющего условию и

для любого корня лежащего в нижней полуплоскости. Следовательно, формула (129.21) справедлива и в случае, когда полином имеет кратные корни.

Подставляя выражение (129.21) в формулу (129.13) при получим:

Для определения передаточной функции при любых значениях X следует заменить в формуле величиной В результате получим:

Верхней полуплоскости переменной а) соответствует левая полуплоскость переменной так как умножение на равноценно простому повороту против часовой стрелки на угол у. Следовательно, все полюсы передаточной функции расположены в левой полуплоскости, поскольку представляет собой передаточную функцию устойчивой системы. Таким образом, оптимальная стационарная линейная система, определяемая при помощи формулы (129.25), всегда устойчива.

Формула (129.24) легко обобщается на случай нестационарной линейной системы, определяемой формулой (129.9). Сравнивая формулу (129.9) с (86.8), можем заменить формулу (129.9) соответствующей формулой для частотной характеристики Тогда для случая, когда и представляют собой дробно-рациональные алгебраические функции, получим:

где индекс «плюс» имеет прежнее значение.

Интеграл в формуле (129.13) легко вычисляется и в том случае, когда представляет собой произведение дробно-рациональной функции на произвольную аналитическую функцию, ограниченную в верхней полуплоскости. Совершенно так же, как была получена

формула (129.18), для любой аналитической функции ограниченной в верхней полуплоскости, получаем:

Следовательно, для любого простого полюса лежащего в верхней полуплоскости,

при Дифференцируя формулу (129.28) раз по получим соответствующую формулу для кратного полюса расположенного в верхней полуплоскости:

Для полюсов функции расположенных в нижней полуплоскости, соответствующие интегралы будут равны нулю.

Таким образом, для вычисления интеграла в формуле (129.13) в случае, когда представляет собой произведение дробно-рациональной функции на аналитическую функцию, ограниченную в верхней полуплоскости, следует разложить алгебраический множитель в функции на простые дроби и отбросить все дроби, соответствующие полюсам, расположенным в нижней полуплоскости, и целую часть, а для дробей, соответствующих полюсам, расположенным в верхней полуплоскости, воспользоваться формулами (129.28) и (129.29). Точно так же вычисляется интеграл по переменным в более общей формуле (129.9), если представляет собой произведение дробно-рациональной функции на произвольную аналитическую функцию у, ограниченную в верхней полуплоскости.

Пример 1. Найти оптимальную линейную систему (фильтр) для выделения сигнала поступающего на вход системы вместе с помехой предполагая, что помеха является белым шумом с интенсивностью а сигнал представляет собой стационарную случайную функцию с математическим ожиданием, тождественно равным нулю, и корреляционной функцией

причем сигнал и помеха не коррелированы.

В данном случае наблюдаемая случайная функция и сигнал выражаются формулами

На основании изложенного в §§ 122, 124 и 125 в данном случае весовая функция оптимальной линейной системы определяется непосредственно решением интегрального уравнения (125.7) при Следовательно, передаточная функция оптимальной системы может быть определена непосредственно по формуле (129.13) или (129.24).

На основании результатов примеров 1 и 2 § 77 спектральная плотность случайной функции X и взаимная спектральная плотность случайных функций выразятся формулами

Выразив спектральную плотность формулой

находим частотную характеристику устойчивой линейной системы, которая преобразует белый шум с единичной спектральной плотностью в случайную функцию

Далее находим дробь и раскладываем ее простые дроби:

Первая из этих простых дробей соответствует полюсу функции расположенному в верхней полуплоскости, а вторая — полюсу, расположенному в нижней полуплоскости. Поэтому

Подставляя выражения (129.34) и (129.36) в формулу (129.24), найдем частотную характеристику искомой оптимальной линейной системы:

Эта формула показывает, что в данном примере оптимальной линейной системой является апериодический фильтр первого порядка, который может быть реализован в виде обычного -фильтра.

В заключение вычислим среднюю квадратическую ошибку найденной оптимальной линейной системы. Для этого найдем сначала спектральную плотность ошибки Принимая во внимание, что передаточные функции

от сигнала к ошибке и от помехи к ошибке равны соответственно применяя формулу (95.9) и учитывая, что сигнал и помеха по условию не коррелированы, получим:

Подставляя сюда выражение (129.37) функции после элементарных преобразований получим:

где для краткости положено:

Заметим, что применение формулы (95.9) в данном случае законно, так как найденная оптимальная система асимптотически устойчива, а интервал наблюдения бесконечен.

Так как математическое ожидание ошибки в данном случае равно нулю, то математическое ожидание квадрата ошибки оптимальной системы равно дисперсии ошибки:

Тот же результат получается по формуле (124.32).

Формула (129.40) показывает, что величина монотонно возрастает от а до при увеличении отношения дисперсии сигнала к интенсивности помехи от нуля до бесконечности. Следовательно, средняя квадратическая ошибка найденной оптимальной системы монотонно убывает от до нуля при возрастании отношения от нуля до бесконечности.

Пример 2. Для условий примера 1 найти оптимальную линейную систему для экстраполяции сигнала на величину В данном случае

и, следовательно,

Таким образом, в данном случае функция представляет собой произведение дробно-рациональной функции на Поэтому для вычисления интеграла в формуле (129.13) можно применить формулу (129.28). Тогда, принимая во внимание (129.40), получим:

Подставляя это выражение в и интегрируя результат по от до найдем среднюю квадратическую ошибку оптимальной системы:

Сравнивая формулы (129.37) и (129.45), видим, что оптимальные системы, предназначенные для воспроизведения сигнала в конце достаточно длинного интервала наблюдения и для его экстраполяции, отличаются друг от друга в данном случае только коэффициентом усиления, который монотонно убывает при увеличении времени экстраполяции Средняя квадратическая ошибка экстраполяции больше средней квадратической ошибки воспроизведения и возрастает с увеличением времени экстраполяции