§ 62. Общая форма канонического разложения случайной функции

В предыдущих параграфах мы показали, как может быть построено каноническое разложение случайной функции, если в качестве коэффициентов разложения выбрать линейные комбинации значений случайной функции в дискретном ряде точек или интегралы, содержащие случайную функцию. Эти линейные комбинации и интегралы являются частными случаями линейных функционалов от случайной функции Поэтому для получения более общих канонических разложений случайной функции X естественно определить случайные коэффициенты разложения формулой

где произвольные линейные функционалы, которые должны удовлетворять некоторым условиям, вытекающим из условия взаимной некоррелированности величин Формулы (58.1) и (60.1) являются частными случаями формулы (62.1). В первом случае линейными функционалами являются линейные комбинации значений случайной функции в дискретном ряде точек. Во втором случае линейными функционалами являются интегралы от произведений случайной функции на некоторые функции Линейными функционалами могут быть также, например, линейные комбинации значений случайной функции. и ее производных до определенного порядка в дискретном ряде точек:

Эти линейные комбинации являются частным случаем интегралов (60.1), когда функции содержат линейные комбинации -функций до соответствующего порядка (см. § 9). Однако могут встретиться случаи, когда линейные функционалы должны иметь более общую форму, чем интегралы (60.1). Например, если аргумент состоит из непрерывно изменяющейся переменной и переменной которая может

принимать только целые положительные значения то линейные функционалы придется взять в форме

Эта форма линейных функционалов понадобится нам в следующей главе при построении канонического разложения векторной случайной функции.

Подставляя выражение (62.1) в общую формулу (57.5), определяющую координатные функции канонического разложения, получим совершенно так же, как была получена формула (60.7),

где нижний индекс функционала означает, что этот функционал применяется к рассматриваемой как функция х при фиксированном значении

Для того чтобы случайные величины были некоррелированными, необходимо и достаточно, чтобы линейные функционалы удовлетворяли условиям биортогональности:

Действительно, корреляционный момент случайных величин на основании (62.1) и (57.5) равен:

Отсюда ясно, что случайные величины и V не коррелированы тогда и только тогда, когда выполнены условия (62.5). Из (62.1) и (57.5) следует также формула

Сравнивая эту формулу с (62.6), получаем равенство

Вводя, как и в § 60, вспомогательные функции

получим на основании (62.4) и (62.5) следующие формулы для дисперсий случайных величин и координатных функций

Для того чтобы найти систему линейных функционалов и функций удовлетворяющих условиям (62.4) и (62.5), возьмем произвольную последовательность линейных функционалов и положим:

После этого по формулам (62.9) и (62.10) определим функцию дисперсию и функцию Для того чтобы вывести общие рекуррентные формулы для последовательного определения линейных функционалов и координатных функций предположим, что найдены пар линейных функционалов и функций удовлетворяющих условиям (62.4) и (62.5), и положим:

где коэффициенты определим из условий:

Подставляя в (62.13) выражение (62.12), находим:

или, принимая во внимание, что условия (62.5) выполнены при

Отсюда находим:

Определив таким образом линейный функционал найдем функцию и дисперсию величины по формулам (62.9) и (62.10). На основании формулы (62.8) функция будет ортогональной ко всем функционалам Следовательно,

функционалы и функции будут удовлетворять

условиям (62.4) и (62.5). Таким образом, формулы (62.1 1), (62.12), (62.16), (62.9) и (62.10) дают алгоритм для последовательного определения линейных функционалов и функций определяющих каноническое разложение случайной функции

Система линейных функционалов исходя из которой мы определили линейные функционалы и функции удовлетворяющие условиям (62.4) и (62.5), может быть взята абсолютно произвольно. Однако, так как практически бессмысленно иметь в каноническом разложении слагаемые с нулевой дисперсией, необходимо выбирать функционалы так, чтобы дисперсии получились все отличными от нуля. В соответствии с бесчисленным множеством возможных способов задания линейных функционалов изложенный процесс дает бесчисленное множество канонических разложений случайной чфункции

Вводя случайные величины

и функции

получим для корреляционных моментов величин формулу

Вычислив корреляционные моменты найдем коэффициенты с и дисперсии последовательно по формулам (61.3), (61.4) и (61.12) или по формулам (61.15), (61.17) и (61.12). После этого координатные функции могут быть определены по формулам (61.14), а линейные функционалы по формулам (62.11) и

Для того чтобы доказать, что найденное изложенным способом каноническое разложение сходится в среднем квадратическом к случайной функции X в той области изменения аргумента на которую распространяется действие линейных функционалов воспользуемся разложением корреляционной функции в области по некоторой системе собственных функций (60.27). Подставляя это разложение в формулу (62.4), получим:

Полагая

можем представить формулу (62.21) в виде:

Вследствие (62.21) и (62.22) имеем:

На основании этой формулы условия (62.5) приводятся к условиям унитарности матрицы Так как при унитарном преобразовании модуль вектора остается неизменным, то из условий унитарности матрицы как и в § 60, вытекают формула (60.35) и равноценная ей формула (60.36). Последняя показывает, что каноническое разложение корреляционной функции сходится при тех же значениях при которых сходится ее разложение по собственным функциям, если только все числа определяемые формулой (62.22), существуют. Формула (57.11) показывает, что каноническое разложение случайной функции сходится к ней в среднем квадратическом при тех же значениях при которых сходится каноническое разложение корреляционной функции, т. е. при тех же значениях при которых сходится разложение корреляционной функции по собственным функциям. В случае непрерывности корреляционной функции и конечной области каноническое разложение будет сходиться в среднем квадратическом к случайной функции X при всех в области

Заметим, что выведенные формулы и положения теории канонических разложений случайных функций, в частности, формулы (57.5) и (57.11), могут быть выведены из общих теорем функционального анализа. Для этого достаточно определить гильбертово пространство элементами которого являются случайные величины соответствующие всем значениям аргумента в данной области все возможные линейные комбинации этих случайных величин и пределы всех возможных последовательностей этих элементов, а скалярным произведением элементов является их корреляционный момент. Тогда каноническое разложение случайной функции X будет представлять собой разложение произвольного элемента пространства по ортогональному базису. Это разложение будет сходиться к случайной функции X в смысле стремления к нулю дисперсии остаточного члена, если пространство сепарабельно. Существование конечного интеграла (60.23) достаточно для того, чтобы пространство было сепарабельным (см. [11]).