§ 67. Интегральные канонические представления случайных функций

Для того чтобы найти условия, определяющие интегральное каноническое представление (56.4) случайной функции X, попытаемся определить белый шум формулой

где Некоторая функция, которую нам предстоит найти. Формула (67.1) аналогична формуле (60.1). Подставляя выражение (67.1) в формулу (57.14), получим:

или

Эта формула, определяющая координатные функции интегрального канонического представления случайной функции аналогична формуле (60.7).

Пользуясь формулой (54.6), находим корреляционную, функцию случайной функции определяемой формулой (67.1):

На основании формулы (67.3) формула (67.4) может быть переписана в виде:

Сравнивая эту формулу со второй формулой (57.12), определяющей корреляционную функцию белого шума, приходим к выводу, что функции должны удовлетворять условию

Для того чтобы найти выражение интенсивности белого шума через корреляционную функцию случайной функции X, проинтегрируем вторую формулу (57.12). В результате получим:

Подставляя сюда выражение (67.4), получим:

Условия (67.3) и (67.6) необходимы и достаточны для того, чтобы случайная функция V, определяемая формулой (67.1), была белым шумом. Эти условия необходимы также для того, чтобы было возможно интегральное каноническое представление (56.4) случайной функции X, в котором белый шум V определяется формулой (67.1). Однако эти условия недостаточны для того, чтобы случайная функция X могла быть, выражена интегральным каноническим представлением (56.4). Для того чтобы найти простое условие, которое вместе с условиями (67.3) и (67.6) было бы достаточным для существования интегрального канонического представления (56.4), попытаемся получить интегральное каноническое представление случайной функции X предельным переходом из канонического разложения § 58, точно представляющего случайную функцию X в дискретном множестве точек.

Рассмотрим последовательность разбиений области Обозначим через интервалы разбиения. В каждом интервале разбиения возьмем произвольно точку и построим по способу § 58 каноническое разложение случайной функции X, точно представляющее ее в точках Пусть теперь X — действительная переменная, изменяющаяся в некоторой области Сопоставим каждому разбиению области разбиение области так, чтобы каждому интервалу соответствовал один интервал и наоборот, и чтобы

наибольший интервал стремился к нулю вместе с наибольшим интервалом при неограниченном увеличении номера разбиения В каждом интервале возьмем произвольно точку и положим в формулах § 58, определяющих каноническое разложение случайной функции X, соответствующее разбиению области Т:

Этим мы определим функцию двух переменных на множестве точек функцию двух переменных в области и на множестве прямых функцию и случайную функцию с некоррелированными значениями на множестве точек На основании (67.9) формула (58.24) примет вид:

Умножая эту формулу на и суммируя результат по получим:

Аналогично преобразуются остальные формулы § 58. При переходе к пределу при мы определим функцию двух переменных и белый шум который будет выражаться через функцию а формулой (67.1). Суммы в формулах (67.10) и (67.11) при этом перейдут в интегралы вследствие того, что все интервалы и стремятся к нулю, В результате формула (67.10) примет в пределе вид:

Докажем, что условия (67.3), (67.6) и (67.12) достаточны для того, чтобы случайная функция X выражалась через белый шум V, определяемый формулой (67.1), интегральным каноническим представлением (56.4). Из (67.1) и (67.12) следует, что при любом

Таким образом, при выполнении условий (67.3), (67.6) и (67.12) случайная функция X выражается интегральным каноническим представлением (56.4) в области что и доказывает достаточность перечисленных условий.

В § 56 мы видели, что из интегрального канонического представления (56.4) случайной функции X вытекает интегральное каноническое представление (56.5) ее корреляционной функции. Покажем теперь, что и наоборот, из интегрального канонического представления (56.5) корреляционной функции вытекает интегральное каноническое представление (56.4) случайной функции. Пусть -белый шум, интенсивность которого равна а взаимная корреляционная функция со случайной функцией X равна в соответствии с формулой (57.13). Для того чтобы убедиться в существовании такого белого шума, достаточно взять последовательность разбиений области на интервалы чтобы при все интервалы стремились к нулю, и, пользуясь теоремой о среднем, заменить интеграл в (56.5) последовательностью равных ему сумм. Эти суммы будут представлять собой канонические разложения корреляционной функции. По доказанному в § 63 каждому такому каноническому разложению соответствует последовательность некоррелированных случайных величин для которых справедлива формула (57.5). В пределе при эта последовательность некоррелированных случайных величин перейдет в белый шум, обладающий требуемыми свойствами. Вычислим математическое ожидание квадрата модуля разности между левой и правой частями формулы (56.4):

Отсюда, пользуясь формулами (57.12) и (57.13), получим:

Правая часть этой формулы равна нулю, если корреляционная функция выражается интегральным каноническим

представлением (56.5). Отсюда следует, что случайная функция. X выражается интегральным каноническим представлением (56.4), что и требовалось доказать.

В изложенной теории область может быть собственно областью (т. е. связной частью соответствующего пространства) или состоять из нескольких неперекрывающихся областей В последнем случае функцию можно рассматривать как совокупность различных функций соответствующих изменению параметра X в областях При этом формула (67.1) определит некоррелированных белых шумов

интенсивности которых выразятся формулой

Условия (67.3), (67.6) и (67.12), которым должны удовлетворять функции и координатные функции X), примут вид:

Для случайной функции и ее корреляционной функции получим интегральные канонические представления:

Заменой параметра X можно преобразовать области в области, имеющие взаимные перекрытия, или даже в одну и ту же область. Поэтому области в предыдущих формулах могут перекрываться или совпадать друг с другом.

Легко понять, что интегральные канонические представления случайной функции при изменении параметра X в одной области А и

в нескольких областях вполне равноценны друг другу и могут быть получены одно из другого простой заменой параметра. Действительно, вводя новый параметр х, изменяющийся в одной области К, разбив область К на частей и установив взаимно однозначное соответствие между значениями параметра х, принадлежащими части и значениями параметра X, принадлежащими области мы заменим параметр X, принимающий все возможные значения, принадлежащие нескольким областям (возможно перекрывающимся), параметром х, изменяющимся в одной области. На основании изложенного интегральные канонические представления случайной функции X и ее корреляционной функции типа (67.21) и (67.22) с теоретической точки зрения не отличаются от интегральных канонических представлений типа (56.4) и (56.5). Однако практически приходится встречаться и с интегральными каноническими представлениями типа (67.21) и (67.22) и оперировать с ними, не преобразовывая их к виду (56.4) и (56.5).

Интегральные канонические представления произвольных случайных функций впервые рассматривались Каруненом, который доказал общую качественную теорему, заключающуюся в том, что необходимым и достаточным условием возможности представления случайной функции X формулой (56.4) является представление ее корреляционной функции формулой (56.5) [92]. Однако Каруиен не доказал существования интегрального канонического представления для произвольной случайной функции и не дал способов определения функций До Карунена частный вид интегральных канонических представлений стационарных случайных функций был изучен Колмогоровым [29].

Пример. Формула (54.25) дает интегральное каноническое представле ние случайной функции X, рассмотренной в примере 2 § 54, в интервале где любое число, Координатные функции этого интегрального канонического представления определяются формулой

Переписав формулу (54.24) в виде

и сравнивая ее с (67.1), видим, что в данном случае

Легко проверить, что функции определяемые формулами (67.23) и (67.25), удовлетворяют условиям (67.3), (67.6) и (67.12).

С другими примерами интегральных канонических представлений случайных функций мы встретимся в главах 11 и 13.