§ 144. Общий метод определения оптимального оператора по критерию минимума среднего риска

Метод определения оптимального оператора, изложенный в §§ 141 и 142, обладает большой степенью общности и применим к широкому классу задач. Однако этот метод не охватывает часто встречающиеся на практике случаи, когда наблюдаемая функция нелинейно зависит от параметров характеризующих сигнал. Примером такой задачи может служить измерение дальности радиолокатором. В этом случае параметром сигнала, подлежащим оценке, является сдвиг принимаемого сигнала во времени по сравнению с излучаемым сигналом. К счастью, метод § 141 легко обобщается на случай нелинейной зависимости наблюдаемой функции от случайных величин При этом обобщении теряется только возможность получить оптимальный оператор в явной форме. В остальном выкладки практически не усложняются,

Для краткости будем рассматривать величины как составляющие -мерного случайного вектора и везде в дальнейшем интегралы по переменной и будем понимать как -кратные интегралы по составляющим вектора . Предположим, что наблюдаемая случайная функция выражается формулой

где определенная функция переменной и случайного вектора Формула (122.9) является частным случаем формулы (144.1), когда функция линейна относительно составляющих вектора Относительно сигнала будем по-прежнему предполагать, что он выражается формулой (141.1), которую мы перепишем коротко в виде:

Как и в §§ 141 и 142, мы будем предполагать, что векторная случайная функция распределена нормально и независима от случайного вектора Кроме того, будем считать, что математические ожидания случайных функций равны тождественно нулю, что, очевидно, не уменьшает общности.

Так же как в § 141, представим векторную случайную функцию каким-либо каноническим разложением (141.6) в области и определим действительные линейные функционалы Тогда все случайные величины входящие в разложение (141.6) случайной функции выразятся формулой (135.4). Предположим, что в разложении (141.6) случайной функции нет таких случайных величин которые не входили бы в разложение (141.6) случайной функции X, т. е. что ни одна из координатных функций не равна тождественно нулю. В дальнейшем мы покажем, как при весьма общих условиях можно избавиться от этого ограничения. Если все случайные величины входящие в разложение (141.6) случайной функции входят также и в разложение (141.6) случайной функции X, то все координатные функции вследствие (135.4) выражаются формулой (135.11). Вводя случайные величины определяемые формулой (141.7) и принимая во внимание (135.4), получим:

где

Так же как и в § 141, убеждаемся в том, что если функция может быть представлена в области разложением

то наблюдаемая случайная функция выражается разложением (141.11) и, следовательно, распределение совокупности всех случайных величин полностью определяет распределение случайной функции и наоборот. Подставляя выражение величин из (144.3) во вторую формулу (141.6), получим:

Подставляя это выражение в (144.2) и вводя обозначение

получим выражение сигнала через случайный вектор и случайные величины

На основании формул (141.11) и (144.8) условное математическое ожидание функции потерь относительно случайной функции равно условному математическому ожиданию функции потерь относительно совокупности всех случайных величин

Условная плотность вероятности случайного вектора отно? сительно случайных величин определяется совершенно так же, как в § 141. В результате вместо формулы (141.20) получим:

где

На основании формул (144.8), (144.9) и (141.7), вводя зависящий от вектора и линейный оператор

получаем для условного математического ожидания функции потерь относительно наблюдаемой функции формулу

где

а линейный оператор определяется формулой (135.13).

Легко проверить непосредственной подстановкой с учетом формул (135.2) и (144.5), что линейный оператор удовлетворяет уравнению типа (124.4):

На основании (135.13) и (144.11) формулы (144.7) и (144.10), определяющие функции могут быть представлены в виде:

Таким образом, задача определения оптимальной оценки сигнала сводится к нахождению линейных операторов и удовлетворяющих уравнениям (124.2) и (144.14), нахождению функций определяемых формулами (144.15), и нахождению функции минимизирующей интеграл в формуле (144.12). Формулы (135.13) и (144.11) дают решение уравнений (124.2) и (144.14) в общем случае в форме бесконечных рядов. При этом функции определяются формулами (144.7) и (144.10) также в форме бесконечных рядов. Однако в некоторых частных случаях уравнения (124.2) и (144.14) могут быть решены в конечном виде, например, одним из Методов, изложенных в §§ 127—133. В таких случаях функции Определяются формулами (144.15).

Во всех предыдущих выкладках функция потерь может быть произвольной функцией или функционалом от сигнала и его оценки. В последнем случае на основании изложенного в § 118 область наблюдения не может зависеть от 5.

Если функция потерь зависит только от текущих значений сигнала и его оценки, соответствующих данному значению переменной (т. е. является функцией сигнала и его оценки), то величина 5 во всех предыдущих выкладках играет роль несущественного параметра. В этом случае минимизацией интеграла (144.12), рассматриваемого как функция определяется значение оптимальной оценки сигнала при данном значении Для определения оценки как функции переменной изменяющейся в области 5, необходимо найти минимум интеграла (144.12) для каждого значения 5 в отдельности.

Рассмотрим теперь подробнее случай, когда функция потерь представляет собой функционал вида

где произвольный линейный функционал, например интеграл по области , а произвольная функция переменной сигнала его оценки и их производных любых порядков.

Для сокращения обозначений мы не указываем произврдные функций в числе аргументов функции а. Так как линейный функционал и операцию математического ожидания можно менять местами, то

Выражая условное математическое ожидание функции .а формулой вида (144.12), получим:

Таким образом, если функция потерь является функционалом вида (144.16), то задача определения оптимальной оценки сигнала сводится к нахождению линейных операторов и функций ш, р и определению функции из условия минимума функционала (144.18).

Очевидно, что если функция потерь зависит только от текущих значений сигнала и его оценки или является функционалом вида (144.16), то все предыдущие выкладки остаются в силе и в том случае, когда вектор представляет собой векторную случайную функцию переменной 5. Поэтому изложенный метод применим и в том случае, когда разложение (141.6) случайной функции У содержит такие случайные величины которые отсутствуют в разложении случайной функции Для применения метода в этом случае достаточно рассматривать сумму всех членов разложения (141.6) случайной функции К, соответствующих случайным величинам не входящим в разложение (141.6) случайной функции X, как дополнительную составляющую векторной случайной функции

Так же как и метод § 141, изложенный метод применим к случаю, когда некоторые составляющие вектора не являются случайными, а представляют собой неизвестные величины, которые могут иметь любые значения. В этом случае в формулах (144.9), (144.12), (144.13) и (144.18) представляет собой совместную плотность

вероятности всех случайных составляющих вектора Если все составляющие вектора неслучайны, то

Изложенный метод может быть применен также к случаю, когда наблюдаемая функция не может быть непосредственно представлена в виде (144.1), но может быть приведена к виду (144.1) путем преобразования некоторым нелинейным оператором не зависящим от вектора

В этом случае помеха в составе наблюдаемой функции не является аддитивной и нормально распределенной. Таким образом, изложенный метод может быть применен к случаю неаддитивной и ненормальной помехи, если существует нелинейный оператор приводящий наблюдаемую функцию к такой форме, в которой помеха оказывается аддитивной и нормально распределенной. Для применения метода к этому случаю достаточно заменить в формулах (144.9), (144.12), (144.13) и (144.18) наблюдаемую функцию преобразованной функцией В качестве примера можно привести случай, когда наблюдаемая функция определяется нелинейным дифференциальным уравнением

где функция, представимая в виде (144.1). В этом случае следует вместо поставить в формулах (144.9), (144.12), (144.13) и (144.18) функцию

Заметим теперь, что область значений а, в которой условная плотность вероятности определяемая формулой (141.20) или (144.9), заметно отличается от нуля, определяется величиной дисперсии случайной функции X (т. е. в большинстве задач — рассеиванием помехи). Если рассеивание содержащегося в наблюдаемой функции сигнала определяемое рассеиванием вектора велико по сравнению с рассеиванием помехи, то плотность вероятности почти постоянна в той области, в которой показательная функция в выражении (141.20) или (144.9) условной плотности вероятности заметно отличается от нуля. При этих условиях плотность вероятности мало влияет на а следовательно, и на результат определения оптимальной оценки сигнала при данной реализации наблюдаемой функции. Отсюда следует, что во всех случаях, когда рассеивание сигнала велико по сравнению с рассеиванием помехи, оптимальная система слабо зависит от закона распределения сигнала, вследствие чего в законе распределения сигнала можно допускать значительные ошибки без существенного влияния на результат определения оптимальной оценки сигнала. Для иллюстрации этого положения заметим, что в случае линейной зависимости сигнала и наблюдаемой функции от вектора величины определяемые формулой (135.20), вследствие обратно пропорциональны

дисперсии помехи Если случайный вектор распределен нормально, то величины в формуле (143.2) обратно пропорциональны рассеиванию вектора и. При большом рассеивании сигнала по сравнению с рассеиванием помехи величины малы по сравнению с величинами вследствие чего величины слабо влияют на величины определяемые системой уравнений (124.10), а следовательно, и на оптимальный оператор (143.18).

Метод § 141 получается как частный случай изложенного метода, когда функция потерь является произвольной функцией сигнала и его оценки и

В этом случае формула (144.4) и первая формула (144.15) вследствие (135.12) и (124.6) принимают вид:

Линейный оператор вследствие (144.11) и (144.22) выражается через линейные операторы. А С), определяемые формулой (135.14):

Наконец, вторая формула (144.15) вследствие (144.21), (144.23) и (124.6) принимает вид:

формулы (144.22), (144.23) и (144.24) показывают, что в случае линейной зависимости функции от составляющих вектора интеграл в формуле (144.12) принимает вид (141.22).

В отличие от метода § 141 изложенный метод не дает явного выражения оптимального оператора, а дает лишь алгоритм для нахождения реализации оптимальной оценки сигнала соответствующей данной реализации наблюдаемой функции При этом изложенный «метод, как и метод § 141, дает оптимальную оценку сигнала для каждой данной реализации наблюдаемой функции. Таким образом, изложенный метод дает алгоритм для построения систем, оптимальных для каждой данной реализации входных возмущений, т. е. оптимальных для каждых конкретных условий работы.

Качество оптимальной оценки сигнала можно характеризовать для. каждой данной реализации наблюдаемой функции соответствующим значением условного математического ожидания функции потерь определяемом формулой (144.12) или (144.18).

Заметим еще, что в некоторых случаях изложенный метод может быть применен и к таким задачам, в которых число составляющих вектора бесконечно (примеры 3 и 4, рассматриваемые в конце параграфа).

Формула (144.12) для условного математического ожидания функции потерь относительно наблюдаемой случайной функции была выведена при помощи бесконечных рядов. Строго говоря, этот вывод содержит предельный переход при неограниченном увеличении числа учитываемых членов в конечном отрезке ряда (141.11). Поэтому, для того чтобы изложенный метод был полностью обоснован, необходимо убедиться в сходимости бесконечного процесса, при помощи которого была получена формула (144.12).

Мы видели в конце § 135, что ряд (135.18) сходится и оператор имеет смысл в применении к случайной функции X, если дисперсия случайной функции У конечна. На основании формул (144.7) и (144.15)

Для того чтобы этот ряд сходился в среднем квадратическом и чтобы существовала функция достаточно существования конечной дисперсии случайной функции У и равномерной сходимости ряда (144.10), определяющего функцию при всех возможных значениях и вектора Если эти условия выполнены, то оператор имеет смысл в применении к наблюдаемой случайной функции Далее, на основании (144.11) и (135.4)

Дисперсия остаточного члена этого ряда равна соответствующему остаточному члену ряда (144.10). Поэтому сходимость ряда (144.10) при всех и достаточна для сходимости в среднем квадратическом при всех и ряда (144.26). Из (144.11) и (144.4) следует формула

Ряд в этой формуле сходится в среднем квадратическом при всех возможных значениях и вектора если ряд (144.10) сходится равномерно при всех и. Таким образом, существование конечной дисперсии случайной функции У и равномерная сходимость ряда (144.10) при всех возможных значениях и вектора являются достаточными условиями для того, чтобы операторы и имели смысл и определяющие их ряды (135.13) и (144.11) сходились в среднем квадратическом в применении к наблюдаемой случайной функции

Введем теперь усеченные линейные операторы

и усеченные функции

Тогда условная плотность вероятности вектора относительно случайных величин определится формулой

Из сходимости последовательностей" в среднем квадратическом соответственно к и следует их сходимость по вероятности (см. § 37). Но в таком случае и последовательность условных плотностей вероятности сходится по вероятности к функции определяемой формулой (144.9), при каждом возможном значении а вектора

Введем теперь обозначения

Еесли ряд (144.10) сходится равномерно относительно а в любой конечной области, то и последовательность будет сходиться в среднем квадратическом равномерно относительно а. При этом и последовательность будет сходиться в среднем квадратическом к равномерно относительно а в любой конечной области. Отсюда следует, что при достаточно большом при любых с вероятностью, большей чем , выполняется неравенство

Действительно, из равномерной сходимости в среднем квадратическом последовательности в любой конечной области и существования конечного математического ожидания интеграла в левой части неравенства (144.32) следует, что это математическое ожидание стремится к нулю при Следовательно, применяя неравенство Чебышева (36.1), мы получим неравенство (144.32). Обозначим через множество значений и, для которых

где произвольное положительное число. Тогда будем иметь:

Сравнивая это неравенство с (144.32) и принимая во внимание произвольную малорть приходим к выводу, что при достаточно большом при любых и с вероятностью, большей чем , имеет место неравенство

Предположим далее, что функции таковы, что из равномерной сходимости в среднем квадратическом последовательности случайных функций к в любой конечной области изменения а следует равномерная сходимость по вероятности последовательности случайных функций к случайной функции в любой конечной области при любой функции Это условие, в частности, выполняется для любой функции если функция не зависит от У. Кроме того, предположим, что для любой функции вероятность неравенства

стремится к единице при для всех достаточно больших значений Иными словами, предположим, что несобственный интеграл в (144.36) является сходящимся по вероятности. Предположим, наконец, что функция такова, что вероятность совместного выполнения неравенств

также стремится к единице при

При выполнении всех перечисленных условий последовательность условных математических ожиданий

рассматриваемых как случайные величины, зависящие от случайной функции сходится по вероятности к случайной величине при любой функции Для того чтобы доказать это, положим для краткости

Тогда получим:

Вследствие (144.37) при любом величина с вероятностью, большей чем не превосходит где достаточно большое положительное число. Поэтому из равномерной сходимости по вероятности последовательности функций в любой конечной области изменения и следует, что первый интеграл в правой части равенства (114.40) стремится по вероятности к нулю при Для того чтобы

доказать, что и второй интеграл в правой части равенства (144.40) стремится по вероятности к нулю при выделим из области интегрирования множество значений и, для которых имеет место неравенство (144.33). Тогда интеграл по оставшейся области при достаточно большом с вероятностью, большей чем -будет как угодно мал вследствие сходимости по вероятности интеграла (144.36), неравенств (144.37) и произвольной малости Интеграл по множеству также будет как угодно мал вследствие того, что с вероятностью, большей чем выражение в квадратных скобках не превосходит интеграл (144.36) сходится и имеет место неравенство (144.35). Таким образом, второй интеграл левой части равенства (144.40) сходится по вероятности к первому интегралу. Аналогично доказывается сходимость по вероятности последовательности интегралов к величине определяемой формулой (144.13). Так как в результате подстановки выражения (144.30) в (144.38) получается отношение интегралов, которые по доказанному сходятся по вероятности соответственно к интегралам в формулах (144.12) и (144.13), то последовательность при любой функции сходится по вероятности к что и требовалось доказать. Но величина представляет собой условное математическое ожидание функции потерь относительно величин при условии, если случайные функции и функция выражаются разложениями (141.6) и (144.5), содержащими конечное число членов каждое. Следовательно, предельная величина представляет собой условное математическое ожидание функции потерь относительно совокупности всех случайных величин

Наконец, из сходимости по вероятности последовательности при любой функции к величине следует существование последовательности оценок минимизирующих соответствующие величины сходящейся по вероятности к оценке минимизирующей величину Таким образом, бесконечный процесс, на котором основан изложенный метод, при весьма общих условиях сходится и определяет оптимальную оценку сигнала. При этрм к оптимальной оценке можно приблизиться с любой степенью точности, пользуясь соответствующими конечными отрезками рядов (144.7), (144.10), (144.11) и (135.13).

Изложенный метод обладает большой общностью и применим к широкому кругу задач. Естественно возникает вопрос, нельзя ли еще обобщить его, например, на случай, когда закон распределения векторной случайной функции отличен от нормального и не приводится к нормальному никаким преобразованием наблюдаемой случайной функции и случайной функции У. Легко понять, что обобщение изложенного метода в этом направлении невозможно без существенных усложнений. Другим направлением обобщения изложенного метода, которое также невозможно без существенного усложнения, является обобщение на случай неаддитивной нормально распределенной помехи. Однако основные идеи изложенного метода можно использовать для приближенного нахождения оптимальных оценок в этих более общих случаях. Если ограничиться в каноническом разложении (141.6) конечными отрезками рядов, то число случайных величин будет конечным и оптимальную оценку сигнала можно будет приближенно определить путем минимизации соответствующей величины при произвольной условной плотности вероятности Этот приближенный метод определения оптимальной оценки сигнала, как легко понять, может иметь практическое значение только для тех задач, в которых оптимальный оператор существенно зависит только от небольшого числа первых членов разложений (141.6).

Пример 1. Найти оптимальную систему для обнаружения сигнала, зависящего от случайных параметров, предполагая, что на вход системы поступает сумма этого сигнала и независимой от него нормально распределенной помехи X, имеющей нулевое математическое ожидание.

В данном случае наблюдаемая функция выражается формулой (144.1), причем без потери общности можно считать, что сигнал отсутствует, когда т. е. что За сигнал подлежащий оценке, в данном случае можно принять случайный вектор В соответствии с этим мы будем обозначать оценку сигнала через Обозначая вероятность присутствия сигнала в наблюдаемой функции через можем выразить плотность вероятности случайного вектора формулой, аналогичной (141.63):

Подставляя это выражение в (144.12), получим:

Подставляя выражение (144.41) в (144.13), вводя обозначение

и подставляя полученное выражение и выражение (119.15) функции потерь I в (144.42), получим:

Отсюда видно, что можно взять любое значение если и любое значение если Таким образом, любая монотонно возрастающая функция интеграла может быть принята за оптимальную оценку сигнала если пороговый уровень сигнала с определить как значение этой функции при аргументе, равном

Пример 2. Найти оптимальную оценку параметра сигнала по критерию максимума правдоподобия, предполагая, что параметр представляет собой нормально распределенный случайный вектор, а зависимость наблюдаемой функции от выражается общей формулой (144.1).

В данном случае оцениваемым сигналом как и в предыдущем примере, является век Подставляя выражения (119.18) и (143.2)

в формулу (144.12) и выполняя интегрирование, получим:

Приравнивая нулю логарифмические производные этого выражения по составляющим вектора получим следующую систему уравнений:

Но на основании формул (144.10), (144.4) и (144.11)

Пользуясь этой формулой, можно переписать уравнения (144.46) в виде:

Эта система уравнений определяет оценки составляющих векторного параметра сигнала

Если представляет собой скалярную функцию времени наблюдаемую в интервале времени то линейный оператор является линейным интегральным оператором

а определяющее этот оператор уравнение (144.14) представляет собой интегральное уравнение (125.7) для весовой функции при В этом случае система уравнений (144.48), определяющая оценки параметров сигнала, принимает вид:

В частном случае, когда параметры сигнала представляют собой неизвестные неслучайные параметры, которые могут иметь любые значения, все величины равны нулю и правые части всех уравнений (144.50) равны нулю. Этот частный случай системы уравнений (144.50) был впервые получен в [104] путем применения разложения помехи X по собственным функциям, которое является частным видом канонического разложения (см. § 60).

Совершенно так же из общей системы уравнений (144.48) может быть получена система уравнений, определяющая оценки параметров сигнала в случае векторной наблюдаемой функции Кроме того, общая система уравнений (144.48) дает решение задачи в случае векторного аргумента

Пример 3. Найти по критерию максимума правдоподобия оптимальную оценку сигнала представляющего собой нормально распределенную случайную функцию, в случае, когда наблюдаемая функция выражается формулой

где — определенная функция, нормально распределенная помеха, независимая от сигнала

Выразив сигнал каким-либо каноническим разложением в области наблюдения Т:

и полагая

мы сведем задачу к рассмотренной в предыдущем примере при Параметры сигнала в данном случае являются независимыми нормально распределенными случайными величинами. Поэтому, обозначая их дисперсии через будем иметь Вследствие этого и равенства (144.53) система уравнений (144.48) принимает в данном случае вид:

Это — бесконечная система уравнений, определяющая оценки коэффициентов разложения (144.52).

Из бесконечной системы уравнений (144.54) можно вывести конечные уравнения, определяющие оценку сигнала

Для вывода этих уравнений умножим каждое из уравнений (144.54) на соответствующую величину где произвольное значение аргумента в области наблюдения и сложим полученные таким образом равенства. Тогда вследствие (144.55) получим:

Но на основании (144.11)

Дифференцируя формулу (144.4) и принимая во внимание (144.53), находим:

Уравнение (144.56) при помощи формул (144.57), (144.58) и (56.2) приводится к виду:

Это уравнение определяет непосредственно оценку сигнала Избавиться от бесконечного ряда в левой части уравнения (144.59) можно двумя путями. Во-первых, вводя линейный оператор

можем представить уравнение (144.59) в конечной форме:

Оператор на основании формул (135.5) и (135.10) удовлетворяет следующему уравнению вида (124.4):

Таким образом, мы получили систему двух конечных уравнений (144.61) и (144.62), определяющих оценку сигнала и линейный оператор Во-вторых, вводя линейный оператор

можем представить уравнение (144.59) в виде:

Оператор на основании формул (135.5) и (135.10) удовлетворяет уравнению

Таким образом, мы получили систему конечных уравнений (144.64) и (144.65), определяющих оценку сигнала и линейный оператор

В частном случае, когда наблюдаемая функция является скалярной случайной функцией времени наблюдаемой в интервале времени операторы представляют собой линейные интегральные операторы. В этом случае система уравнений (144.61) и (144.62) представляет собой систему интегральных уравнений

определяющих оценку сигнала и весовую функцию оператора Система уравнений (144.64) и (144.65) в этом случае представляет собой систему интегральных уравнений

определяющих оценку сигнала и весовую функцию оператора Система уравнений (144.67) была впервые выведена в Общие системы уравнений (144.61), (144.62) и (144.64), (144.65) дают также системы интегральных уравнений, определяющие оценку сигнала и соответствующие весовые функции в случае векторной наблюдаемой функции

Пример 4. Пользуясь методом этого параграфа, найти оптимальную оценку сигнала по критерию минимума средней квадратической ошибки. В данном случае формула (144.12) принимает вид:

Приравнивая нулю производную этого выражения по решая полученное уравнение относительно и принимая во внимание (144.13), получим:

Эта формула вытекает также из общей формулы (140.5), так как ее правая часть представляет собой как раз условное математическое ожидание сигнала относительно наблюдаемой функции В частном случае, когда наблюдаемая функция и сигнал выражаются формулами (122.9) и (122.10), формула (144.69) принимает вид:

где V — условные математические ожидания случайных величин относительно наблюдаемой функции определяются формулой (124.9). В случае нормального распределения величин условные математические ожидания могут быть определены из условия максимума показательной функции в Это дает систему линейных алгебраических уравнений

где величины определяются формулой (124.13). Таким образом, в случае, когда наблюдаемая функция и сигнал являются линейными функциями нормально распределенных величин нахождение оптимальной оценки

сигнала сводится к решению системы уравнений (144.71) относительно величин и применению формулы (144.70). В этом случае число составляющих вектора может быть бесконечным. Уравнения (144.71) образуют в этом случае бесконечную систему линейных алгебраических уравнений.

Пример 5. Найти оптимальную систему для воспроизведения синусо: идального сигнала определенной частоты случайными амплитудой и фазой:

по результатам наблюдения в интервале времени -функции определяемой дифференциальным уравнением

где -нормально распределенная помеха, имеющая равное нулю математическое ожидание и независимая от сигнала Случайные величины независимы, причем распределена нормально и имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию распределена равномерно в интервале Качество системы оценивается средней квадратической ошибкой.

В данном случае наблюдаемая функция не выражается формулой (144.1). Помеха, входящая в состав наблюдаемой функции неаддитивна, и ее распределение отлично от нормального. Однако уравнение (144.73) определяет нелинейное преобразование при помощи которого функция приводится к виду (144.1). Формула (144.12), определяющая величину в данном случае принимает вид:

где

а весовая функция определяется интегральным уравнением

Приравнивая нулю производную выражения (144.74) по и решая полученное уравнение, получим для оптимальной оценки сигнала формулу

где для краткости положено

Пример 6. В условиях примера 1 § 141 найти оптимальную систему для экстраполяции сигнала на все значения в интервале по критерию минимума среднего значения линейной комбинации математических ожиданий квадратов ошибки и ее производной, предполагая, что наблюдение случайной функции производится в интервале В данном случае

где k — некоторая величина, которую мы будем считать постоянной. Так как величины по условию распределены нормально, то на основании (144.79) и (144.23) формула (144.18) принимает вид:

где линейные операторы, весовые функции которых определяются формулами (132.41) при а величины определяются формулами (132.42) при Заменим функцию функцией где — произвольная функция, действительный параметр. Если функция минимизирует интеграл (144.80), то его производная по а должна быть равна нулю при для любой функции Это дает следующее необходимое условие минимума интеграла (144.80):

Это условие и достаточно, так как, заменяя в левой части на и дифференцируя ее еще раз по а, получим существенно положительную величину при любой функции В более сложных случаях достаточность приходится проверять, пользуясь приемами вариационного исчисления.

Заметим, что три интеграла по переменным входящие в ураннение (144.81), умноженные на нормирующий множитель равны соответственно единице и условным математическим ожиданиям случайных величин относительно наблюдаемой случайной функции

Так как условное распределение величин нормально, их условные математические ожидания можно определить из условия максимума показательной функции в (144.81). В результате получим уравнения

Уравнение (144.81) принимает вид:

Интегрированием по частям преобразуем это уравнение к виду:

Это уравнение должно удовлетворяться при любом выборе функции А для этого необходимо, чтобы множитель при под знаком интеграла был тождественно равен нулю в интервале интегрирования и чтобы коэффициент при в первом слагаемом обращался в нуль на концах интервала интегрирования. Иными словами, функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению

и граничным условиям

Легко видеть» что решение уравнения (144.85), удовлетворяющее граничным условиям (144.86), определяется формулой

Решая уравнения (144.82) относительно и подставляя полученные выражения в (144.87), получим:

где величины и определяются системой линейных алгебраических уравнений (141.49), в которой величины должны быть заменены соответственно величинами или, что то же, в которой Таким образом, оптимальной системой в данном случае является та же линейная система, которая получается по критерию минимума средней квадратической ошибки.