§ 33. Другой метод определения закона распределения функции случайного аргумента

Другой метод нахождения законов распределения функций случайных аргументов основан на применении -функций. Если случайная величина У представляет собой однозначную функцию случайной величины X, определяемую формулой (30.1), то при любом фиксированном значении х величины X величина У имеет одно единственное возможное значение и вероятность этого значения равна единице. Следовательно, условная плотность вероятности случайной величины У относительно X при любом значении х величины X представляет собой -функцию:

Совместная плотность вероятности случайных величин на основании (16.7) выразится формулой

Подставляя это выражение в формулу (15.9), найдем плотность вероятности случайной величины У:

Эта формула выражает плотность вероятности функции случайной величины через плотность вероятности величины-аргумента как в случае скалярных, так и в случае векторных величин . В последнем случае функция в предыдущих формулах представляет собой вектор, составляющие которого являются однозначными функциями составляющих вектора х, а интеграл в формуле (33.3) представляет собой кратный интеграл, распространенный на пространство возможных значений случайного вектора При этом -функцию следует понимать как соответствующую многомерную -функцию. Пользуясь выражением (9.29) многомерной -функции, можем представить формулы (33.2) и (33.3) для случая, когда У является -мерным случайным вектором, составляющие которого

определяются формулой в развернутом виде:

Применим теперь формулы (33.3) и (33.5) к наиболее важным частным случаям. Сначала рассмотрим случай скалярных величин Если уравнение (32.2) имеет единственное решение (32.3) в области возможных значений случайной величины то, производя в интеграле (33.3) замену переменных по формуле (32.3) и принимая во внимание (9.4), получим:

Этот результат совпадает с результатом, полученным в предыдущем параграфе другим методом. Если при каком-нибудь значении у уравнение (32.2) имеет несколько решений в области возможных значений величины то, разбивая область интегрирования в (33.3) на части, в каждой из которых уравнение (32.2) имеет только одно решение, и производя в полученных интегралах соответствующие замены переменных, получим для плотности вероятности случайной величины У сумму выражений вида (33.6), соответствующих всем значениям обратной функции при данном у.

Перейдем теперь к случаю, когда У является случайным вектором, составляющие которого определяются формулами (30.3). Если и уравнения

имеют единственное решение относительно

в области возможных значений случайных величин при любых возможных значениях величин то замена переменных (33.8) в интеграле (33.5) дает:

где якобиан функций (33.8) по переменным

Выполняя интегрирование по переменным в (33.9) при помощи формулы (9.4), получим:

где в выражениях (33.8) функций переменные заменены переменными Если и уравнения

имеют единственное решение

в области возможных значений случайных величин то замена переменных (33.12) в интеграле (33.5) дает:

или

где, как и в (33.10), переменные в выражениях функций заменены соответствующими переменными

Наконец, если и уравнения (33.11) имеют единственное решение (33.12) в области возможных значений случайных величин то замена переменных (33.12) в интеграле (33.5) дает:

где

На основании свойств -функции формула (33.15) принимает вид:

где, как и прежде, переменные в выражениях (33.12) и (33.16) функций заменены соответствующими переменными

Если уравнения (33.7) ни при какой нумерации величин не имеют единственного решения относительно или уравнения (33.11) не имеют единственного решения, то область интегрирования в (33.5) следует разбить на такие части, в каждой из которых уравнения (33.7) или (33.11) имеют единственное решение, и после этого произвести в полученных интегралах соответствующие замены переменных. В результате плотность вероятности случайного вектора У выразится суммами выражений вида (33.10), (33.14) или (33.17), соответствующих всем значениям обратных функций при данном значении вектора У. Однако в подобных случаях вычисления часто значительно упрощаются, если для определения плотности вероятности случайной величины или случайного вектора У применить непосредственно формулу (33.3) или соответственно формулу (33.5).

Если составляющие вектора У являются линейными функциями составляющих нормально распределенного случайного вектора X, то, подставляя в (33.10) выражение (23.1) плотности вероятности и пользуясь формулой (23.57), убеждаемся в том, что случайный вектор У также распределен нормально. Таким образом, линейные функции нормально распределенных случайных величин всегда распределены нормально. Этот результат следует также непосредственно из формул (28.8) и (28.18).

Пример 1. Решить пример 2 предыдущего параграфа, пользуясь формулой (33.3).

Подставляя в (33.3) выражения (32.13) и (32.17), находим:

Этот результат совпадает с полученным в примере 2 предыдущего параграфа.

Пример 2. Решить пример 3 предыдущего параграфа, пользуясь формулой (33.3).

Подставляя в (33.3) выражение (32.23) функции и выражение плотности вероятности равномерно распределенной в интервале

случайной величины X, получим:

Этот результат совпадает с полученным в примере § 9.

Пример 3. Найти закон распределения размаха случайной величины X при независимых опытах (т. е. разности между ее наибольшим и наименьшим значениями).

В примере § 15 мы нашли совместный закон распределения наибольшего и наименьшего значений случайной величины X при независимых опытах. По условию задачи нам нужно найти закон распределения разности Следовательно, в данном случае мы имеем скалярную функцию двух случайных величин . Единственное в данном случае уравнение (33.7), в котором вместо написаны соответственно имеет вид:

Это уравнение имеет однозначное решение относительно любой из переменных Поэтому для решения задачи можно применить формулу (33.10). Решив уравнение (33.20) относительно получим: Подставляя это выражение и выражение (15.21) плотности вероятности величин в формулу (33.10) при в которой заменены соответственно величинами найдем плотность вероятности размаха случайной величины X при независимых опытах:

Пример 4. Найти закон распределения случайной величины

если — независимые случайные величины, причем случайная величина X распределена нормально и ее математическое ожидание равно нулю, а случайная величина У распределена равномерно в интервале —

Совместная плотность вероятности случайных величин в данном случае выражается формулой

Единственное в данном случае уравнение (33.7) в обозначениях этого примера имеет вид:

Это уравнение при любых значениях у к имеет единственное решение относительно

Следовательно, .в данном случае для определения плотности вероятности случайной величины можно применить формулу (33.10). Тогда, принимая во внимание, что плотность вероятности случайных величин равна нулю вне интервала получим:

Для вычисления интеграла сделаем замену переменных

Тогда будем иметь:

и формула (33.26) примет вид:

Вводя новую переменную и принимая во внимание, что

приведем формулу (33.29) к виду:

Интеграл в этой формуле не выражается через элементарные функции, а представляет собой разновидность бесселевых функций — так называемую функцию Макдональда нулевого порядка [10,17]:

Пользуясь этой формулой, можем выразить плотность вероятности случайной величины формулой [16]:

Пример 5. Найти закон распределения радиуса-вектора случайной точки на плоскости, если плотность вероятности прямоугольных декартовых координат точки равна

Надиус-вектор случайной точки на плоскости представляет собой случайную величину, связанную с прямоугольными декартовыми координатами точки функциональной зависимостью

В данном случае уравнение (33.34) не имеет однозначного решения ни относительно X, ни относительно У. Поэтому формулу (33.10) применить нельзя. Общая формула (33.5) дает для плотности вероятности радиуса-вектора выражение

После замены переменных формула (33.35) принимает вид:

Если плотность вероятности случайного вектора зависит только от его модуля: то интегрирование по в (33.36) легко выполняется, и мы получаем:

В частном случае кругового нормального распределения вероятностей на плоскости

и формула (33.37) дает:

Функция распределения радиуса-вектора случайной точки на плоскости, согласно (8.6), выразится формулой

Распределение вероятностей, определяемое формулами (33.39) и (33.40), обычно называется релеевским.

Если случайный вектор имеет круговое нормальное распределение со смещенным относительно начала координат центром рассеивания, то

и формула (33.36) дает:

Интеграл в этой формуле не выражается через элементарные функции. Его можно выразить через бесселеву функцию

На основании (33.43) формула (33.42) принимает вид:

Распределение вероятностей, определяемое формулой (33.44), представляет собой обобщенное релеевское распределение.