§ 59. Практический способ построения канонического разложения случайной функции в дискретном ряде точек

В предыдущем параграфе было отмечено, что в некоторых случаях бывает удобно воспользоваться возможностью произвольно задать часть коэффициентов в формуле (58.1) и принять при Тогда, полагая в формулах (58.1), (58.7) и получим:

Формулы (58.1), (58.7) и (58.9) при примут соответственно вид:

Условия (58.14) при примут вид:

Полагая в уравнениях можно последовательно определить коэффициенты случайные величины их дисперсии и координатные функции Последовательность операций при каждом данном значении будет такова: сначала находим коэффициенты путем решения системы линейных алгебраических уравнений (59.5) (при одного уравнения), затем определяем по формулам (59.2), (59.3), (59.4) . Таким образом можно практически построить каноническое разложение случайной функции

Однако изложенный процесс целесообразно несколько видоизменить с целью избежать громоздкой операции решения системы алгебраических уравнений (59.5). Для этого определим величины и функцию формулами (59.1), а величины определим рекуррентными формулами:

Эти формулы, очевидно, равноценны формулам (59.2), так как, решая уравнения (59.1) и (59.2) последовательно относительно мы выразим каждую из величин в виде линейной комбинации величин

где коэффициенты выражаются через коэффициенты формулами:

Таким образом, определяя величины формулой (59.6) вместо (59.2), мы изменяем лишь форму записи, а не существо дела.

Для определения коэффициентов положим в и сравним полученное равенство с (59.6). Тогда получим:

и, кроме того,

и

На основании (59.9) формула (59.6) принимает вид:

Для определения дисперсии случайной величины перепишем формулу (59.12) в виде:

Эта формула представляет случайную величину в виде линейной комбинации некоррелированных случайных величин

Применяя формулу для дисперсии линейной функции некоррелированных случайных величин (20.18), находим:

откуда, принимая во внимание (49.10),

Наконец, для определения координатных функций подставим выражение (59.12) в формулу (57.5). Тогда получим:

или, принимая во внимание (57.5):

Полагая в формулах (59.12), (59.15) и и принимая во внимание (59.1), мы определим последовательно все величины и функции

Легко проверить, что функции определяемые формулами (59.1) и (59.17), удовлетворяют условиям (59.10) и (59.11).

Формула (59.13) дает точное каноническое разложение случайной функции X в точках в виде конечной суммы.

Изложенный способ нахождения канонического разложения случайной функции особенно удобен в случаях, когда требуется представить случайную функцию каноническим разложением в дискретном ряде точек, особенно если число этих точек не очень велико. Использование этого способа для построения приближенного канонического разложения случайной функции в непрерывной области изменения аргумента удобно только в тех случаях, когда корреляционная функция сравнительно медленно убывает по модулю с ростом разности так что область значений в которой корреляционная функция заметно отличается от нуля, не очень мала по сравнению с областью изменения аргумента в которой искомое каноническое разложение должно представлять случайную функцию Иными словами, изложенный способ удобен в случае сильной корреляции между значениями случайной функции соответствующими различным значениям аргумента в той области, в которой

каноническое разложение должно представлять случайную функцию В случае, когда область значений в которой корреляционная функция заметно отлична от нуля, мала по сравнению с областью изменения в которой случайная функция X должна быть представлена каноническим разложением (т. е. в случае слабой корреляции между знамениями случайной функции, соответствующими различным значениям в той области, в которой случайная функция X должна быть представлена каноническим разложением), изложенный способ неудобен, так как приводит к каноническому разложению с очень большим числом членов, хотя при каждом данном значении лишь небольшое число членов будут заметно отличными от нуля.

Пример. Для исследования точности дискретной системы, находящейся под действием случайного возмущения необходимо найти каноническое разложение случайной функции в дискретном ряде точек Математическое ожидание случайной функции Лтождественно равно нулю, а ее корреляционная функция определяется формулой

Формулы (59.1) в данном случае дают:

Полагая для краткости и применяя формулу (59.15), находим:

после чего формула (59.17) дает:

Применяя рекуррентные формулы (59.15) и (59.17), находим при любом

На основании (59.24) каноническое разложение рассматриваемой случайной функции в точках (59.13) принимает вид:

Для решения задачи нахождения системы, дающей в определенном смысле наилучшую точность, необходимо еще определить коэффициенты в формуле (58.1) [см. § 135]. Для этого достаточно решить уравнения (59.25) относительно случайных величин Вычитая из уравнения (59.25), соответствующего уравнение (59.25), соответствующее умноженное на получим:

Сравнивая эту формулу с (58.1), находим:

Рассмотренное каноническое разложение случайной функции, корреляционная функция которой определяется формулой (59.18), в ряде равноотстоящих точек было, по-видимому, впервые получено . Акимовым.