§ 17. Моменты двумерного случайного вектора. Корреляционный момент и коэффициент корреляции

При совместном изучении нескольких случайных величин приходится пользоваться, кроме моментов каждой из них в отдельности, еще смешанными моментами случайных величин. Прежде чем дать определение смешанных моментов случайных величин, дадим формулу для математического ожидания произвольной функции двух случайных величин . В соответствии с общим определением математического ожидания (§ 10) мы получим математическое ожидание функции если найдем среднее значение этой функции, цридав каждому ее возможному значению вес, равный соответствующему элементу вероятности . В результате получим формулу

Легко видеть, что в частном случае, когда функция зависит только от одной из случайных величин определение математического ожидания функции по формуле (17.1) совпадает с ранее данным определением (10.3). Для того чтобы убедиться в этом, положим в Тогда, принимая во внимание (15.8), будем иметь:

Полагая, в частности, можем определить по формуле (17.1) математические ожидания случайных величин

Смешанным моментом порядка случайных величин называется математическое ожидание величины

Очевидно, что при или формула (17.3) дает моменты случайных величин по отдельности. В частности, моменты

первого порядка равны математическим ожиданиям случайных величин .

Сметанным центральным моментом порядка случайных величин называется математическое ожидание величины

Очевидно, что при или формула (17.4) дает центральные моменты случайных величин по отдельности. В частности, моменты первого порядка и равны нулю, а моменты второго порядка представляют собой дисперсии случайных величин

Среди смешанных моментов случайных величин особую роль играет центральный смешанный момент второго порядка который обычно называется корреляционным моментом или просто смешанным моментом второго порядка случайных величин Обозначая корреляционный момент случайных величин через можем определить его формулой

На основании общей формулы (17.1) формулу (17.5) можно переписать в виде:

Таким образом, при желании ограничиться численной характеристикой случайных величин при помощи их моментов не выше второго порядка при совместном изучении нескольких случайных величин необходимо учесть, кроме их математических ожиданий и дисперсий, еще корреляционные моменты, которые до известной степени характеризуют взаимосвязь между случайными величинами.

Совершенно так же, как в § 10 мы уподобили распределение вероятностей случайной величины распределению масс на прямой, распределение вероятностей двумерного или трехмерного случайного вектора можно рассматривать как распределение масс на плоскости или в пространстве. Принимая всю распределенную на плоскости или в пространстве массу за единицу, а плотность вероятности за поверхностную или объемную плотность, убеждаемся в том, что математические ожидания случайных величин равны соответствующим координатам центра массы, дисперсии случайных величин равны соответствующим центральным моментам инерции, а корреляционные моменты случайных величин равны соответствующим произведениям инерции. Так же как в теоретической механике для полной характеристики динамических свойств абсолютно твердого тела

необходимо знать его центр массы, центральные моменты инерции и произведения инерции, при совместном изучении нескольких случайных величин необходимо знать их математические ожидания, дисперсии и корреляционные моменты. Однако в отличие от динамики твердого тела в теории вероятностей численная характеристика случайных величин при помощи их математических ожиданий, дисперсий и корреляционных моментов не всегда бывает достаточной. Так, например, при вычислении вероятностей попадания случайной точки в заданные области плоскости или пространства необходимо знать соответствующие плотности вероятности случайного вектора.

Вместо корреляционного момента случайных величин часто пользуются так называемым коэффициентом корреляции. Коэффициентом корреляции случайных величин называется безразмерная величина

Легко видеть, что корреляционный момент и коэффициент корреляции независимых случайных величин равны нулю. В самом деле, подставляя в формулу (17.6) выражение (16.9) плотности вероятности независимых случайных величин получим:

Но каждый из двух последних интегралов равен нулю. Следовательно, и Обратное предложение не имеет места. Корреляционный момент и коэффициент корреляции могут быть равными нулю и для зависимых случайных величин. Для равенства нулю корреляционного момента случайных величин достаточно, чтобы распределение вероятностей на плоскости было симметричным относительно одной из прямых так как в этом случае каждому элементу интеграла в формуле (17.6) соответствует равный по абсолютной величине и противоположный по знаку элемент.

Случайные величины называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля. Случайные величины называются некоррелированными, если их корреляционный

момент равен нулю. Согласно доказанному выше независимые величины всегда не коррелированы. Зависимые величины могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Случайные величины не коррелированы, если распределение вероятностей на плоскости симметрично относительно одной из прямых

Пользуясь формулой бинома Ньютона, можно выразить все смешанные центральные моменты дгя двух случайных величин через их смешанные начальные моменты и наоборот. Мы не будем приводить здесь эти зависимости, предоставляя читателю самостоятельно вывести их.

Если в формулы § 10 подставить вместо условную плотность вероятности случайной величины X относительно К, то эти формулы определят условные моменты случайной величины X относительно К. Условные математическое ожидание и дисперсию случайной величины X относительно К мы будем обозначать через соответственно. Условное математическое ожидание и условная дисперсия случайной величины X относительно зависят от значения у случайной величины К, т. е. являются функциями случайной величины К.

Математическое ожидание условного математического ожидания рассматриваемого как функция случайной величины К, равно математическому ожиданию функции

Действительно, на основании формул (16.7) и (17.1)

Формула (17.9) показывает, что при вычислении математического ожидания функции двух случайных величин вероятностное осреднение можно вести в два приема: сначала по всем возможным значениям одной случайной величины при фиксированном значении другой, а потом по всем возможным значениям другой случайной величины. Этим обстоятельством мы воспользуемся в главе 18.

Пример. Найти корреляционный момент случайных величин рассмотренных в примере 1 предыдущего параграфа.

Так как распределение вероятностей на плоскости симметрично относительно осей координат, то непосредственно ясно, что в данном примере Этот же результат получится, если подставить в формулы (10.2) и (17.6) выражение (16.20) плотности вероятности и выполнить интегрирование. Следовательно, в данном примере случайные величины и К не коррелированы. В примере предыдущего параграфа мы видели, что они зависимы. Таким образом, случайные величины в рассмотренном примере зависимы, но не коррелированы.