§ 69. Математическое ожидание и корреляционная функция векторной случайной функции

Математическим ожиданием векторной случайной функции в соответствии с определением математического ожидания случайного вектора называется векторная функция, составляющими которой являются математические ожидания соответствующих составляющих данной векторной случайной функции. Таким образом, математическое ожидание векторной случайной функции с составляющими представляет собой векторную функцию, составляющие которой определяются формулой

Очевидно, что это определение математического ожидания векторной случайной функции можно получить чисто формальным путем, заменив, согласно сказанному в предыдущем параграфе, аргумент случайной функции совокупностью аргумента и номера составляющей векторной случайной функции.

Для того чтобы определить корреляционную функцию векторной случайной функции, будем рассматривать ее составляющую как скалярную случайную функцию ее аргумента и номера и в соответствии с этим заменим в формуле (49.7) аргумент совокупностью аргумента и номера составляющей векторной случайной функции. При этом другой аргумент корреляционной функции У должен быть заменен совокупностью аргумента У, изменяющегося независимо от в области изменения аргумента данной векторной случайной функции, и номера независимо от принимающего значения . В результате получим:

При изменении индексов корреляционная функция векторной случайной функции по очереди совпадает с корреляционными функциями и всеми возможными взаимными корреляционными функциями составляющих векторной случайной функции. Таким образом, корреляционная функция векторной случайной функции представляет собой совокупность корреляционных функций и взаимных корреляционных функций составляющих векторной случайной функции. Следовательно, корреляционную функцию векторной случайной функции можно определить как матрицу корреляционных функций и взаимных корреляционных функций всех составляющих векторной случайной функции:

Аналогично из общего определения взаимной корреляционной функции двух случайных функций (49.12) можно получить определение взаимной корреляционной функции -мерной векторной случайной функции X с составляющими и -мерной векторной случайной функции У с составляющими Для этого достаточно заменить в формуле аргумент совокупностью аргумента и номера составляющей векторной случайной функции X, а аргумент совокупностью аргумента и номера I составляющей векторной случайной функции К. В результате получим:

При изменении индексов взаимная корреляционная функция двух векторных случайных функций совпадает по очереди со всеми взаимными корреляционными функциями их составляющих. Поэтому взаимную корреляционную функцию двух векторных случайных функций можно определить как прямоугольную матрицу взаимных корреляционных функций всех составляющих этих векторных случайных функций:

Из доказанных в главе 8 свойств корреляционной функции легко выводятся соответствующие свойства корреляционной функции векторной случайной функции. Заменяя в формуле (51.1) аргумент совокупностью аргумента и индекса а аргумент — совокупностью аргумента V и индекса получим:

Таким образом, при перестановке аргументов и одновременной перестановке индексов корреляционная функция случайного вектора переходит в комплексную сопряженную. Если векторная случайная функция действительна, то при перестановке аргументов и одновременной перестановке индексов значение корреляционной функции векторной случайной функции не изменяется. Равенство (69.6) объединяет свойство симметрии корреляционной функции (51.1) и свойство (51.7) взаимной корреляционной функции двух случайных функций.

Аналогично, заменяя в неравенстве (51.3) аргумент совокупностью аргумента и индекса а аргумент совокупностью аргумента и индекса получим:

Это неравенство объединяет неравенство (51.3), которому удовлетворяет корреляционная функция скалярной случайной функции, и свойство (51.9) взаимной корреляционной функции двух случайных функций.

Совершенно так же, как в § 51 было доказано, что корреляционная функция является определенно положительной функцией, доказывается, что для любой векторной функции имеющей составляющие

при любых и при интегрировании по любой области В (конечно, полностью лежащей в области изменения аргумента векторной случайной функции).

Из доказанных в § 51 теорем следует, что математическое ожидание и корреляционная функция непрерывной векторной случайной функции непрерывны и что из непрерывности математического ожидания и корреляционных функций составляющих векторной случайной функции вытекает непрерывность векторной случайной функции. При этом векторная функция считается непрерывной, когда все ее составляющие непрерывны.

Если аргумент является скалярной переменной, то из формул § 53 следует, что математическое ожидание производной порядка векторной случайной функции X:

равно производной порядка ее математического ожидания:

Корреляционная функция производной порядка векторной случайной функции X определяется формулой

а взаимная корреляционная функция производных порядков векторной случайной функции X определяется формулой

Если - векторный аргумент, то аналогичные формулы имеют Место для частных производных векторной случайной функции по составляющим векторного аргумента и для других возможных

дифференциальных операций над векторной случайной функцией в области векторного аргумента.

Число составляющих векторной случайной функции может быть конечным или бесконечным. Все изложенное выше применимо в равной мере к векторным случайным функциям с конечным числом составляющих и к векторным случайным функциям с бесконечным (счетным) множеством составляющих.

Для более полной характеристики векторной случайной функции можно пользоваться ее моментами различных порядков, т. е. моментами и смешанными моментами всех ее составляющих. Для дальнейшего нам понадобится определить еще начальный момент второго порядка векторной случайной функции. Начальным моментом второго порядка векторной случайной функции X мы будем называть начальный момент второго порядка ее составляющей рассматриваемой как скалярная случайная функция ее аргумента и номера (§ 50):

Заменяя в (50.7) аргумент совокупностью аргумента и номера составляющей векторной случайной функции X, а аргумент совокупностью аргумента V и номера получим следующее соотношение между начальным моментом второго порядка, математическим ожиданием и корреляционной функцией векторной случайной функции: