§ 63. Построение канонического разложения случайной функции по каноническому разложению ее корреляционной функции

Предположим теперь, что корреляционная функция случайной функции X представлена каноническим разложением:

с линейно независимыми координатными функциями и докажем, что в этом случае случайная функция X может быть представлена каноническим разложением с теми же координатными функциями

Очевидно, что достаточно найти функции удовлетворяющие совместно с функциями условиям биортогональности (60.9):

Действительно, из (63.1) и (60.9) следует, что

Таким образом, условия (60.7) в данном случае выполняются вследствие условий биортогональности (60.9).

Для доказательства возьмем произвольную систему функций и построим другую систему функций так, чтобы каждая из них была ортогональной ко всем функциям с меньшими номерами. Для этого положим:

и определим коэффициент так, чтобы функция была ортогональна к функции Для краткости мы введем следующее обозначение для интеграла от произведения двух функций, распространенного на всю интересующую нас область изменения аргумента

Применяя эту сокращенную форму записи, можем переписать условия биортогональности (60.9) в виде:

Тогда условие для определения коэффициента в (63.4) запишется в виде:

Подставляя сюда выражение (63.4) функции получим:

откуда, предполагая, что

находим:

Далее положим:

и определим коэффициенты из условия ортогональности функции к функциям Предположим, что таким ббразом определены функций удовлетворяющих условиям:

и положим:

где коэффициенты определим из условия ортогональности функции к функциям

Подставляя сюда выражение (63.13) и принимая во внимание, что условия (63.12) выполнены при получим:

Отсюда последовательно находим:

Продолжая таким образом, и выбирая каждую последующую функцию так, чтобы второе условие (63.12) было выполнено при мы построим последовательность функций обладающих требуемыми свойствами. Положим теперь:

и определим коэффициенты так, чтобы были удовлетворены все условия биортогональности (63.6). Подставляя выражение (63.17) в (63.6), получим уравнения

В силу условий (63.12) эти уравнения принимают вид:

Полагая здесь последовательно находим коэффициенты

Изложенным способом можно определить функции удовлетворяющие совместно с функциями условиям биортогональности (63.6). При этом, как мы видели выше, условия (60.7) автоматически удовлетворяются в силу формулы (63.1). Следовательно, по доказанному в § 60 функции определяют каноническое разложение случайной функции (63.2), остаточный член которого определяется формулой (57.11).

Из сходимости разложения (63.1) корреляционной функции и формулы (57.11) «следует, что математическое ожидание квадрата модуля остаточного члена канонического разложения (63.2) случайной функции X стремится к нулю при неограниченном увеличении числа членов канонического разложения (63.2). Иными словами, каноническое разложение (63.2) случайной функции X сходится в среднем квадратическом к случайной функции X при всех значениях при которых сходится каноническое разложение (63.1) ее корреляционной функции.

Совершенно аналогично может быть найдена система линейных функционалов удовлетворяющих совместно с функциями условиям биортогональности (62.5). Взяв произвольную систему линейных функционалов положим:

где коэффициенты определим так, чтобы были выполнены условия

При этом функционалы будем выбирать так, чтобы при всех было выполнено условие

Подставляя выражение (63.21) в (63.22) и принимая во внимание, что функционалы удовлетворяют условиям (63.22), и (63.23) получаем уравнения для определения коэффициентов

откуда последовательно находим:

Положим теперь:

и определим коэффициенты так, чтобы были удовлетворены все условия биортогональности (62.5). Подставляя выражение (63.26) в (62.5) и принимая во внимание (63.22) и (63.23), получим уравнения:

Полагая здесь находим:

Таким образом могут быть определены линейные функционалы удовлетворяющие совместно с функциями условиям биортогональности (62.5). При этом условия (62.4) автоматически будут удовлетворены вследствие (63.1) и (62.5). Из сходимости разложения (63.1) корреляционной функции и формулы (57.11) для остаточного, члена канонического разложения следует сходимость в среднем квадратическом канонического разложения (63.2) случайной функции